Fiche de révision : Structures isostatiques et calcul

📋 Plan du Cours

1. Isostaticité et degrés de liberté
2. Liaisons externes et internes
3. Degré d’hyperstaticité des structures
4. Équilibre des structures à un élément
5. Structures à plusieurs éléments
6. Barres et effort normal

📖 1. Isostaticité et degrés de liberté

📝 Points essentiels

📌 Une structure est isostatique lorsque ses liaisons sont strictement suffisantes, hyperstatique lorsqu’elles sont surabondantes et mobile lorsqu’elles sont insuffisantes.

• Un solide dans le plan possède 3 degrés de liberté : 2 translations et 1 rotation ; dans l’espace, il en possède 6.

💡 Astuce mémo

Liaisons strictement suffisantes : isostatique ; surabondantes : hyperstatique ; insuffisantes : mobile.

📖 2. Liaisons externes et internes

🔑 Notions clés & Définitions

• Articulation externe : Bloque les deux translations et laisse libre la rotation ; elle fournit une réaction horizontale et une réaction verticale.
• Appui glissant : Bloque la translation verticale et laisse libres la translation horizontale et la rotation ; il fournit une réaction verticale.
• Encastrement : Bloque les deux translations et la rotation et fournit des réactions horizontale et verticale ainsi qu’un moment d’encastrement.

★ À maîtriser

• Une articulation interne reliant n éléments laisse 2 translations et n rotations, soit n + 2 degrés de liberté restants, et bloque 2(n − 1) degrés de liberté.

Compléments

• Un encastrement interne reliant n éléments laisse 2 translations et 1 rotation et bloque 3(n − 1) degrés de liberté.

📖 3. Degré d’hyperstaticité des structures

★ À maîtriser

📐 Formule - Le degré d’hyperstaticité se calcule par $hy = b - ddl$, où b est le nombre de degrés de liberté bloqués par les liaisons et ddl le nombre de degrés de liberté avant assemblage.

📌 Pour une structure préalablement vérifiée non mobile, hy = 0 indique une structure isostatique et hy > 0 une structure hyperstatique.

• Une structure peut être mobile même lorsque b = ddl : le comptage des degrés de liberté ne remplace donc pas la vérification de l’absence de mécanisme, comme le parallélogramme déformable.

Compléments

• Pour une structure formée de n solides plans avant assemblage, ddl = 3n.

📖 4. Équilibre des structures à un élément

★ À maîtriser

• Pour une structure isostatique plane à un élément, les réactions d’appui se déterminent avec les 3 équations d’équilibre : deux équations de forces et une équation de moments.

📌 Une poutre hyperstatique possède plus d’inconnues de réaction que les 3 équations d’équilibre disponibles ; il faut une équation supplémentaire fondée sur une condition de déplacement.

Compléments

• Pour calculer les réactions d’appui, on recense les inconnues, remplace une charge linéique par sa résultante si nécessaire, puis écrit les équations d’équilibre.

• Une réaction calculée négative agit dans le sens opposé au sens supposé et doit être représentée selon son sens physique réel.

💡 Astuce mémo

Recenser les réactions, écrire les trois équations d’équilibre, puis vérifier le bilan.

📖 5. Structures à plusieurs éléments

★ À maîtriser

• Pour calculer une structure à plusieurs éléments, on vérifie d’abord qu’elle est non mobile et isostatique, écrit l’équilibre global, puis isole un ou plusieurs éléments pour déterminer les efforts internes de liaison.

Compléments

• L’équilibre global fournit les équations faisant intervenir les réactions aux appuis, tandis que l’équilibre des éléments isolés fait intervenir les efforts internes de liaison et éventuellement des réactions d’appui.

💡 Astuce mémo

Équilibre global, puis isolement des éléments pour déterminer les efforts de liaison.

📖 6. Barres et effort normal

🔑 Notions clés & Définitions

• Barre : Solide droit articulé à ses deux extrémités, appelées nœuds, et chargé uniquement à ses nœuds ; elle ne subit qu’un effort normal de traction ou de compression.

★ À maîtriser

📌 Dans une barre, N > 0 correspond à la traction et N < 0 à la compression.

Compléments

• Pour une barre inclinée à 45°, les composantes horizontale et verticale de l’effort normal ont chacune pour valeur absolue N/√2.

💡 Astuce mémo

Traction : N > 0 ; compression : N < 0.