Fiche de révision : Actions et équilibre des structures

📋 Plan du Cours

1. Origine et échelle des actions
2. Évolution et représentation des forces
3. Moment et effet de rotation
4. Systèmes de forces équivalents
5. Résultantes des actions réparties
6. Conditions d’équilibre statique

📖 1. Origine et échelle des actions

📝 Points essentiels

📌 Une action de contact est surfacique, tandis qu’une action sans contact est volumique et s’exerce sur tout le volume de l’objet.

📌 Selon l’échelle d’observation, une surface de contact peut être modélisée par une force ponctuelle, une force linéique ou une pression surfacique.

📐 Formule - Le poids vaut $P = mg$ ; en génie civil, on arrondit l’accélération de la pesanteur à $g = 10\ \text{N/kg}$ au lieu de 9,81 N/kg.

💡 Astuce mémo

Contact : pression surfacique ; sans contact : action volumique.

📖 2. Évolution et représentation des forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur force : Caractérisé par sa direction, son sens, son point d’application et sa longueur, qui représente l’intensité de la force.

📝 Points essentiels

• Les actions se classent en trois catégories :
  • les actions permanentes, comme le poids propre et la précontrainte
  • les actions variables, comme les charges d’exploitation et les actions climatiques
  • les actions accidentelles, comme les chocs, les explosions et les incendies

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, les composantes d’une force d’intensité $F$ et d’angle $\alpha$ sont $F_X = F\cos\alpha$ et $F_Y = F\sin\alpha$, et sa norme vérifie $F = \sqrt{F_X^2 + F_Y^2}$.

📖 3. Moment et effet de rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’une force : Mesure sa capacité à faire tourner un solide autour d’un point et vaut le produit de l’intensité de la force par son bras de levier, avec un signe positif dans le sens trigonométrique.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le moment de la force $F$ au point $P$ vaut $M_P(F) = \pm Fd$, où $d$ est la distance entre le point et la ligne d’action de la force.

💡 Astuce mémo

Bras de levier nul → moment nul.

📖 4. Systèmes de forces équivalents

🔑 Notions clés & Définitions

• Systèmes équivalents : Ont la même force résultante et le même moment résultant, et l’un peut alors remplacer l’autre pour simplifier les calculs.

• Couple de forces : Formé de deux forces parallèles, égales et opposées, dont la résultante est nulle mais dont le moment est non nul et vaut $C = Fd$.

📝 Points essentiels

• Pour deux forces non parallèles, la résultante est leur somme vectorielle et sa ligne d’action passe par l’intersection des lignes d’action des deux forces.

📐 Formule - Pour deux forces parallèles, la résultante vérifie $F = F_1 + F_2$ et sa position satisfait $d = \frac{F_1d_1 + F_2d_2}{F_1 + F_2}$.

💡 Astuce mémo

Résultante nulle, moment non nul : un couple.

📖 5. Résultantes des actions réparties

📝 Points essentiels

📐 Formule - Une pression uniforme $p$ appliquée sur une surface $A$ a pour résultante $F = pA$, appliquée au centre de la surface.

📐 Formule - Le poids propre d’un objet vaut $P = mg = \rho Vg$ et s’applique en son centre de gravité.

📐 Formule - Une action linéique constante $q$ sur une longueur $L$ a pour résultante $F = qL$, appliquée au milieu de la longueur.

📖 6. Conditions d’équilibre statique

📝 Points essentiels

📌 Un solide soumis à des forces extérieures ou à des actions de ses appuis est en équilibre si sa force totale est nulle et si le moment total est nul en un point.

📐 Formule - Dans le plan, l’équilibre s’écrit $\sum_i F_{iX}=0$, $\sum_i F_{iY}=0$ et $\sum_i M_P(F_i)=0$, soit trois équations.

📌 Pour qu’un solide soumis à deux forces soit en équilibre, les forces doivent être opposées et avoir la même ligne d’action.