Fiche de révision : Algèbre des matrices

📋 Plan du Cours

1. Addition et multiplication par un scalaire
2. Transposée et matrices symétriques
3. Produit de matrices
4. Matrice identité et puissances
5. Matrices diagonales et triangulaires
6. Trace d’une matrice carrée

📖 1. Addition et multiplication par un scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice nulle : La matrice de dimension (n,p) dont tous les éléments sont nuls et qui vérifie M + E = E + M = M.
• Multiplication par un scalaire : Multiplier une matrice M par un scalaire réel λ revient à multiplier chacun de ses éléments par λ.
• Opposé d’une matrice : La matrice de même dimension telle que M + (−M) = E, où E est la matrice nulle.

★ À maîtriser

• Deux matrices peuvent être additionnées ou soustraites seulement si elles ont la même dimension, et les opérations se font terme à terme.

Compléments

📌 La soustraction de matrices n’est pas commutative : en général, M − N ≠ N − M.

• La multiplication par un scalaire vérifie λ(M + N) = λM + λN, (λ + μ)M = λM + μM, (λμ)M = λ(μM), 1M = M et 0M = E.

📖 2. Transposée et matrices symétriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Transposée : La transposée de M, notée {}^tM, s’obtient en échangeant les lignes et les colonnes ; si M est de dimension (n,p), {}^tM est de dimension (p,n).
• Matrice symétrique : Une matrice carrée M est symétrique si {}^tM = M, c’est-à-dire si mᵢⱼ = mⱼᵢ pour tous i et j.
• Matrice antisymétrique : Une matrice carrée M est antisymétrique si {}^tM = −M ; ses éléments diagonaux sont nuls.

★ À maîtriser

📐 Formule - La transposée d’un produit inverse l’ordre des facteurs : ${}^t(MN) = {}^tN\,{}^tM$.

Compléments

• La double transposition redonne la matrice initiale : {}^t({}^tM) = M.

• La transposition vérifie {}^t(λM) = λ({}^tM) et {}^t(M + N) = {}^tM + {}^tN.

💡 Astuce mémo

Symétrique : la transposée conserve la matrice ; antisymétrique : elle en change le signe.

📖 3. Produit de matrices

★ À maîtriser

📌 Le produit MN est défini seulement si le nombre de colonnes de M est égal au nombre de lignes de N ; si M est de dimension (n,p) et N de dimension (p,m), MN est de dimension (n,m).

📐 Formule - Chaque coefficient du produit est le produit scalaire d’une ligne de M et d’une colonne de N : $c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}m_{ik}n_{kj}$.

• La multiplication matricielle n’est pas commutative en général : MN ≠ NM.

Compléments

• La multiplication matricielle est associative et distributive par rapport à l’addition des matrices.

• La multiplication par un scalaire est compatible avec le produit matriciel : λ(MN) = (λM)N = M(λN).

• Pour une matrice A de dimension (2,3) et une matrice B de dimension (3,4), le produit AB est de dimension (2,4).

💡 Astuce mémo

Une ligne de la première matrice rencontre une colonne de la seconde.

📖 4. Matrice identité et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice identité : La matrice identité Iₙ est une matrice carrée dont les éléments diagonaux valent 1 et les autres éléments valent 0.

★ À maîtriser

📌 L’identité de dimension compatible est neutre pour le produit matriciel : MIₚ = M et IₘM = M lorsque les dimensions correspondent.

📌 Une puissance Mᵠ n’est définie que si M est carrée, et M⁰ = Iₙ.

Compléments

📐 Formule - Pour une matrice carrée M et des exposants entiers positifs, $M^pM^q=M^{p+q}$ et $\left(M^p\right)^q=M^{pq}$.

📖 5. Matrices diagonales et triangulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice diagonale : Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les éléments hors diagonale sont nuls.
• Matrice triangulaire inférieure : Une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont les éléments mᵢⱼ sont nuls lorsque i < j.
• Matrice triangulaire supérieure : Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont les éléments mᵢⱼ sont nuls lorsque i > j.
• Matrice scalaire : Une matrice scalaire est une matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux au même scalaire ; elle est l’identité si ce scalaire vaut 1 et la matrice nulle s’il vaut 0.

📝 Points essentiels

• Une matrice est à la fois triangulaire supérieure et inférieure si et seulement si elle est diagonale.

💡 Astuce mémo

La diagonale concentre les valeurs ; les matrices triangulaires annulent un côté de cette diagonale.

📖 6. Trace d’une matrice carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Trace : La trace d’une matrice carrée est la somme de ses éléments diagonaux : tr(M) = m₁₁ + m₂₂ + ⋯ + mₙₙ.

★ À maîtriser

• Pour deux matrices carrées M et N de même dimension, tr(MN) = tr(NM).

Compléments

• La trace vérifie tr(M + N) = tr(M) + tr(N) et tr(λM) = λ tr(M) pour des matrices carrées M et N et un réel λ.