Flashcards : Algèbre des matrices (42 cartes)

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1Question

À quelle condition deux matrices peuvent-elles être additionnées ou soustraites ?

Réponse

Elles doivent avoir la même dimension.

2Question

Comment s’effectuent l’addition et la soustraction de matrices ?

Réponse

Terme à terme.

3Question

Comment reconnaît-on la matrice nulle de dimension $(n,p)$ ?

Réponse

Tous ses éléments sont nuls.

4Question

Quel rôle joue la matrice nulle $E$ dans l’addition avec $M$ ?

Réponse

Elle vérifie $M+E=E+M=M$ .

5Question

Comment multiplier une matrice $M$ par un scalaire réel $\lambda$ ?

Réponse

Multiplier chacun de ses éléments par $\lambda$ .

6Question

Comment obtient-on la transposée d’une matrice M ?

Réponse

En échangeant ses lignes et ses colonnes.

7Question

Quelle est la dimension de la transposée d’une matrice de dimension (n,p) ?

Réponse

(p,n).

8Question

Comment s’écrit la transposée du produit MN ?

Réponse

${}^t(MN) = {}^tN\,{}^tM$

9Question

Quelle égalité définit une matrice carrée symétrique M ?

Réponse

${}^tM = M$

10Question

Quelle condition permet de définir le produit de matrices $MN$ ?

Réponse

Le nombre de colonnes de $M$ doit égaler le nombre de lignes de $N$ .

11Question

Si $M$ est de dimension $(n,p)$ et $N$ de dimension $(p,m)$ , quelle est la dimension de $MN$ ?

Réponse

$(n,m)$ .

12Question

Comment calcule-t-on le coefficient $c_{ij}$ du produit $MN$ ?

Réponse

$c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}m_{ik}n_{kj}$ .

13Question

Quelle propriété générale la multiplication matricielle n’a-t-elle pas ?

Réponse

Elle n’est pas commutative.

14Question

Quelles sont les valeurs des éléments diagonaux de la matrice identité $I_n$ ?

Réponse

Ils valent 1.

15Question

Quelles sont les valeurs des éléments hors diagonale de $I_n$ ?

Réponse

Ils valent 0.

16Question

Quel est l’effet de l’identité compatible à droite dans un produit matriciel ?

Réponse

Elle laisse la matrice inchangée.

17Question

Quel est l’effet de l’identité compatible à gauche dans un produit matriciel ?

Réponse

Elle laisse la matrice inchangée.

18Question

Quelle condition doit satisfaire $M$ pour que sa puissance soit définie ?

Réponse

$M$ doit être carrée.

19Question

À quoi est égale la puissance zéro d’une matrice carrée $M$ ?

Réponse

$M^0=I_n$ .

20Question

Qu’est-ce qu’une matrice diagonale ?

Réponse

Une matrice carrée dont les éléments hors diagonale sont nuls.

21Question

Qu’est-ce qu’une matrice triangulaire inférieure ?

Réponse

Une matrice carrée dont les éléments $m_{ij}$ sont nuls lorsque $i<j$ .

22Question

Qu’est-ce qu’une matrice triangulaire supérieure ?

Réponse

Une matrice carrée dont les éléments $m_{ij}$ sont nuls lorsque $i>j$ .

23Question

Comment définit-on la trace d’une matrice carrée ?

Réponse

La somme de ses éléments diagonaux.

24Question

Quelle égalité relie les traces de $MN$ et $NM$ pour deux matrices carrées de même dimension ?

Réponse

$\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(NM)$

25Question

Quelle propriété la soustraction de matrices ne vérifie-t-elle généralement pas ?

Réponse

La commutativité.

26Question

Quelle relation définit l’opposé $-M$ d’une matrice $M$ ?

Réponse

$M+(-M)=E$ , où $E$ est la matrice nulle.

27Question

Quelle est la formule de distributivité de $\lambda$ sur une somme de matrices ?

Réponse

$\lambda(M+N)=\lambda M+\lambda N$ .

28Question

Que donne la double transposition d’une matrice M ?

Réponse

La matrice M.

29Question

Quelle est la transposée de λM ?

Réponse

λ fois la transposée de M.

30Question

Quelle est la transposée de la somme de M et N ?

Réponse

La somme des transposées de M et de N.

31Question

Quelle égalité définit une matrice carrée antisymétrique M ?

Réponse

${}^tM = -M$

32Question

Quelles propriétés la multiplication matricielle vérifie-t-elle concernant l’association et l’addition ?

Réponse

Elle est associative et distributive par rapport à l’addition des matrices.

33Question

Quelle égalité exprime la compatibilité du scalaire $\lambda$ avec le produit matriciel ?

Réponse

$\lambda(MN)=(\lambda M)N=M(\lambda N)$ .

34Question

Quelle est la dimension du produit $AB$ si $A$ est de dimension $(2,3)$ et $B$ de dimension $(3,4)$ ?

Réponse

$(2,4)$ .

35Question

À quoi est égal le produit $M^pM^q$ pour une matrice carrée ?

Réponse

$M^{p+q}$ .

36Question

À quoi est égale la puissance $\left(M^p\right)^q$ pour une matrice carrée ?

Réponse

$M^{pq}$ .

37Question

Qu’est-ce qu’une matrice scalaire ?

Réponse

Une matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux.

38Question

Que devient une matrice scalaire lorsque son scalaire vaut 1 ?

Réponse

La matrice identité.

39Question

Que devient une matrice scalaire lorsque son scalaire vaut 0 ?

Réponse

La matrice nulle.

40Question

Quelle matrice est à la fois triangulaire supérieure et inférieure ?

Réponse

Une matrice diagonale.

41Question

Quelle propriété la trace vérifie-t-elle pour une somme de matrices carrées ?

Réponse

$\operatorname{tr}(M+N)=\operatorname{tr}(M)+\operatorname{tr}(N)$

42Question

Quelle propriété la trace vérifie-t-elle pour le produit d’une matrice carrée par un réel ?

Réponse

$\operatorname{tr}(\lambda M)=\lambda\operatorname{tr}(M)$

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 17 questions sur Algèbre des matrices.

1. Quelle condition définit une matrice diagonale ?

2. Si chaque élément d’une matrice M est multiplié par le scalaire réel $\lambda$ , quelle opération a été effectuée ?

Faire le QCM →

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