QCM : Algèbre des matrices (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition définit une matrice diagonale ?

Elle est carrée et les éléments au-dessous de la diagonale sont nuls.
Elle est carrée et tous ses éléments hors diagonale sont nuls.
Elle est carrée et tous ses éléments diagonaux sont nuls.
Elle est carrée et les éléments au-dessus de la diagonale sont nuls.

Elle est carrée et tous ses éléments hors diagonale sont nuls.

Explication

Une matrice diagonale est carrée et ses éléments hors diagonale sont tous nuls. L’annulation des seuls éléments au-dessus ou au-dessous de la diagonale caractérise plutôt une matrice triangulaire.

2. Si chaque élément d’une matrice M est multiplié par le scalaire réel λ\lambda, quelle opération a été effectuée ?

La multiplication de chaque ligne de M par la colonne correspondante d’une autre matrice.
La multiplication de M par un scalaire, appliquée à chacun de ses éléments.
L’addition de M avec une matrice dont tous les éléments valent λ\lambda.
La transposition de M, suivie d’une multiplication de ses lignes entre elles.

La multiplication de M par un scalaire, appliquée à chacun de ses éléments.

Explication

Multiplier une matrice par un scalaire revient à multiplier individuellement chacun de ses éléments par ce scalaire. La multiplication de lignes par colonnes décrit plutôt le calcul de coefficients d’un produit matriciel.

3. Dans une matrice triangulaire inférieure MM, que peut-on affirmer des éléments mijm_{ij} lorsque i<ji<j ?

Ils sont égaux à leurs éléments symétriques par rapport à la diagonale.
Ils sont nuls, car ils se trouvent au-dessous de la diagonale.
Ils valent 1, car ils appartiennent à la diagonale principale.
Ils sont nuls, car ils se trouvent au-dessus de la diagonale.

Ils sont nuls, car ils se trouvent au-dessus de la diagonale.

Explication

Dans une matrice triangulaire inférieure, tous les éléments tels que i<ji<j sont nuls; ces positions se situent au-dessus de la diagonale. Les positions au-dessous de la diagonale correspondent au cas i>ji>j.

4. Pour deux matrices carrées MM et NN de même dimension, quelle égalité relie les traces de leurs produits dans les deux ordres ?

tr⁡(MN)=tr⁡(M+N)\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(M+N)
tr⁡(MN)=tr⁡(M)−tr⁡(N)\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(M)-\operatorname{tr}(N)
tr⁡(MN)=tr⁡(M)tr⁡(N)\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(M)\operatorname{tr}(N)
tr⁡(MN)=tr⁡(NM)\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(NM)

$$\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(NM)$$

Explication

Pour deux matrices carrées de même dimension, la trace du produit ne change pas lorsqu’on inverse l’ordre des facteurs. Cela ne signifie pas que la trace du produit est le produit des traces.

5. La matrice M est de dimension (n,p) et N de dimension (q,m) ; dans quelle condition le produit MN est-il défini, et quelle est alors sa dimension ?

Il est défini si p=mp=m, et sa dimension est (n,q).
Il est défini si p=qp=q, et sa dimension est (n,m).
Il est défini si n=qn=q, et sa dimension est (p,m).
Il est défini si n=mn=m, et sa dimension est (q,p).

Il est défini si $$p=q$$, et sa dimension est (n,m).

Explication

Le nombre de colonnes de M doit égaler le nombre de lignes de N, donc p=qp=q, et le produit obtenu a pour dimension (n,m). L’égalité des dimensions entières est une condition associée à l’addition, pas à la définition de ce produit.

6. Une matrice M a la dimension (n,p) ; quelle est la dimension de sa transposée et comment l’obtient-on ?

La dimension (n,p), en inversant l’ordre des coefficients dans chaque ligne de M.
La dimension (n,p), en échangeant les coefficients de la diagonale principale.
La dimension (p,n), en échangeant les lignes et les colonnes de M.
La dimension (p,n), en remplaçant chaque coefficient par son opposé.

La dimension (p,n), en échangeant les lignes et les colonnes de M.

Explication

La transposée s’obtient en échangeant les lignes et les colonnes, ce qui transforme une matrice de dimension (n,p) en une matrice de dimension (p,n). Inverser les coefficients à l’intérieur des lignes ne décrit pas la transposition.

7. Dans quelles conditions peut-on additionner ou soustraire deux matrices, et comment ces opérations sont-elles effectuées ?

Elles peuvent avoir des dimensions différentes si leurs éléments sont combinés par produit scalaire.
Elles doivent avoir la même dimension, et les opérations se font terme à terme.
Elles doivent avoir la même dimension, et chaque ligne de l’une est combinée à chaque colonne de l’autre.
Le nombre de colonnes de la première doit égaler le nombre de lignes de la seconde, et les opérations se font terme à terme.

Elles doivent avoir la même dimension, et les opérations se font terme à terme.

Explication

L’addition et la soustraction sont définies pour des matrices de même dimension et s’effectuent coefficient par coefficient. La condition reliant colonnes et lignes concerne le produit matriciel, pas ces opérations.

8. Quelle propriété caractérise une matrice identité InI_n ?

Ses éléments diagonaux valent 0 et ses autres éléments valent 1.
Tous ses éléments valent 1, y compris ceux hors diagonale.
Ses éléments diagonaux valent 1 et ses autres éléments valent 0.
Tous ses éléments valent 0, y compris ceux de la diagonale.

Ses éléments diagonaux valent 1 et ses autres éléments valent 0.

Explication

La matrice identité est carrée et comporte des 1 sur la diagonale, les éléments hors diagonale étant nuls. Une matrice dont tous les éléments sont nuls est la matrice nulle, et non l’identité.

9. Quel rôle joue la matrice nulle E de dimension (n,p) dans l’addition avec une matrice M de même dimension ?

Elle est l’opposé de M, car M + E = E + M = la matrice nulle.
Elle inverse les lignes et les colonnes de M sans en changer les éléments.
Elle est l’élément neutre, car M + E = E + M = M.
Elle multiplie chaque élément de M par zéro tout en conservant le résultat M.

Elle est l’élément neutre, car M + E = E + M = M.

Explication

La matrice nulle laisse M inchangée lorsqu’on l’ajoute, ce qui en fait l’élément neutre de l’addition. L’opposé de M est une autre matrice, qui donne la matrice nulle lorsqu’on l’additionne à M.

10. Pour une matrice MM de dimensions compatibles avec l’identité, quel est le résultat du produit MIpMI_p ?

La matrice MM augmentée de l’identité compatible.
La matrice transposée de MM.
La matrice nulle de mêmes dimensions que MM.
La matrice MM, inchangée par le produit.

La matrice $$M$$, inchangée par le produit.

Explication

L’identité de dimension compatible est neutre pour le produit matriciel, donc MIp=MMI_p=M. La matrice nulle ne joue pas ce rôle pour la multiplication : elle annule le produit.

11. Comment calcule-t-on la trace d’une matrice carrée MM ?

En additionnant les éléments de sa première ligne.
En additionnant ses éléments diagonaux.
En multipliant ses éléments diagonaux entre eux.
En additionnant tous ses éléments, diagonaux et hors diagonale.

En additionnant ses éléments diagonaux.

Explication

La trace est la somme des éléments de la diagonale principale de la matrice carrée. Additionner tous les éléments de la matrice inclurait aussi les positions hors diagonale et ne correspond pas à la trace.

12. Quelle règle permet de transposer le produit de deux matrices M et N ?

La transposée échange le produit avec une différence :  t(MN)=tN−tM\,{}^t(MN)={}^tN-{}^tM.
La transposée transforme le produit en somme :  t(MN)=tM+tN\,{}^t(MN)={}^tM+{}^tN.
La transposée conserve l’ordre des facteurs :  t(MN)=tM tN\,{}^t(MN)={}^tM\,{}^tN.
La transposée inverse l’ordre des facteurs :  t(MN)=tN tM\,{}^t(MN)={}^tN\,{}^tM.

La transposée inverse l’ordre des facteurs : $$\,{}^t(MN)={}^tN\,{}^tM$$.

Explication

La transposée d’un produit renverse l’ordre des facteurs, de sorte que le facteur N transposé précède M transposé. Conserver l’ordre des facteurs confond cette règle avec le comportement de la transposée d’une somme.

13. Comment calcule-t-on le coefficient cijc_{ij} du produit MN à partir de M et de N ?

En multipliant entre eux les coefficients diagonaux situés aux positions i et j.
En additionnant les coefficients de la ligne i de M et de la colonne j de N.
En faisant le produit scalaire de la colonne i de M avec la ligne j de N.
En faisant le produit scalaire de la ligne i de M avec la colonne j de N.

En faisant le produit scalaire de la ligne i de M avec la colonne j de N.

Explication

Le coefficient cijc_{ij} est la somme des produits des coefficients de la ligne i de M par ceux de la colonne j de N, autrement dit leur produit scalaire. Le produit scalaire d’une colonne de M et d’une ligne de N ne correspond pas au calcul de ce coefficient.

14. Comment reconnaître qu’une matrice carrée M est symétrique ?

Elle vérifie M2=MM^2=M, donc son carré est identique à elle-même.
Elle possède des coefficients diagonaux tous égaux, sans condition sur les autres coefficients.
Elle vérifie  tM=−M\,{}^tM=-M, donc ses coefficients opposés se correspondent de part et d’autre de la diagonale.
Elle vérifie  tM=M\,{}^tM=M, donc ses coefficients satisfont mij=mjim_{ij}=m_{ji}.

Elle vérifie $$\,{}^tM=M$$, donc ses coefficients satisfont $$m_{ij}=m_{ji}$$.

Explication

Une matrice carrée est symétrique lorsqu’elle est égale à sa transposée, ce qui impose l’égalité des coefficients de part et d’autre de la diagonale. La condition  tM=−M\,{}^tM=-M caractérise une propriété différente et n’est pas la définition de la symétrie.

15. Une matrice carrée a des éléments nuls pour tous les indices i>ji>j. De quel type de matrice s’agit-il ?

D’une matrice triangulaire inférieure.
D’une matrice triangulaire supérieure.
D’une matrice diagonale, sans autre condition.
D’une matrice scalaire, sans autre condition.

D’une matrice triangulaire supérieure.

Explication

La condition i>ji>j désigne les éléments situés au-dessous de la diagonale; leur annulation caractérise une matrice triangulaire supérieure. Pour être diagonale, les éléments au-dessus de la diagonale devraient également être nuls.

16. Pour deux matrices M et N dont les produits dans les deux ordres sont définis, quelle affirmation décrit la multiplication matricielle en général ?

Les produits sont égaux, comme pour la multiplication des nombres réels.
Les produits ont nécessairement des dimensions différentes, donc leur égalité est impossible.
Les produits sont égaux dès que M et N ont le même nombre de lignes.
Les produits peuvent différer : MNMN n’est généralement pas égal à NMNM.

Les produits peuvent différer : $$MN$$ n’est généralement pas égal à $$NM$$.

Explication

La multiplication matricielle n’est généralement pas commutative : changer l’ordre des facteurs peut changer le résultat. La commutativité de la multiplication des nombres réels ne s’étend pas en général aux matrices.

17. Pour une matrice carrée MM d’ordre nn, que vaut M0M^0 ?

La matrice identité InI_n.
La matrice transposée MTM^T.
La matrice MM elle-même.
La matrice nulle d’ordre nn.

La matrice identité $$I_n$$.

Explication

Par définition des puissances matricielles, l’exposant zéro donne l’identité de même dimension que MM. La matrice nulle est une confusion possible, mais elle ne représente pas la puissance zéro.

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À quelle condition deux matrices peuvent-elles être additionnées ou soustraites ?

Elles doivent avoir la même dimension.

Comment s’effectuent l’addition et la soustraction de matrices ?

Terme à terme.

Comment reconnaît-on la matrice nulle de dimension (n,p)(n,p) ?

Tous ses éléments sont nuls.

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