QCM : Suites arithmético-géométriques — 9 questions

Question 1

1. Quelle relation de récurrence caractérise une suite arithmético-géométrique ?

u_{n+1}=u_n+r

avec une raison constante

r

u_{n+1}=u_n^2+b

avec un réel constant

b

u_{n+1}=au_n+b

avec deux réels constants

a

et

b

u_{n+1}=qu_n

avec un quotient constant

q

Explication

Une suite arithmético-géométrique est définie par une relation affine de la forme $u_{n+1}=au_n+b$ . La relation avec une différence constante caractérise une suite arithmétique, tandis que celle avec un quotient constant caractérise une suite géométrique.

Answer

$$u_{n+1}=au_n+b$$ avec deux réels constants $$a$$ et $$b$$

Question 2

2. Quelle distinction entre les trois types de suites est correcte ?

Une suite arithmétique ajoute une constante, une suite géométrique multiplie par une constante et une suite arithmético-géométrique combine multiplication et addition.

Une suite arithmétique multiplie par une constante, une suite géométrique ajoute une constante et une suite arithmético-géométrique soustrait une constante.

Une suite arithmétique ajoute une constante, une suite géométrique combine multiplication et addition et une suite arithmético-géométrique conserve une différence constante.

Une suite arithmétique combine multiplication et addition, une suite géométrique ajoute une constante et une suite arithmético-géométrique multiplie par une constante.

Explication

La suite arithmétique suit $u_{n+1}=u_n+r$ , la suite géométrique suit $u_{n+1}=qu_n$ et la suite arithmético-géométrique suit $u_{n+1}=au_n+b$ . Les autres propositions attribuent ces relations aux mauvais types de suites.

Answer

Une suite arithmétique ajoute une constante, une suite géométrique multiplie par une constante et une suite arithmético-géométrique combine multiplication et addition.

Question 3

3. Pour calculer successivement les termes d’une suite définie par récurrence, quelle méthode faut-il appliquer ?

Déterminer d’abord la limite de la suite avant de calculer chacun de ses termes.

Remplacer le rang par sa valeur dans une formule explicite indépendante des termes précédents.

Additionner tous les rangs déjà utilisés avant d’appliquer la relation de récurrence.

Remplacer à chaque étape le terme précédent dans la relation de récurrence donnée.

Explication

Le calcul par récurrence consiste à utiliser le terme déjà obtenu comme entrée de l’étape suivante. La limite ou une somme des rangs ne fournit pas la procédure demandée pour engendrer les premiers termes.

Answer

Remplacer à chaque étape le terme précédent dans la relation de récurrence donnée.

Question 4

4. Pour $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ , quelle est la valeur de $u_3$ ?

29

61

125

35

Explication

On obtient successivement $u_1=2\times5+3=13$ , $u_2=2\times13+3=29$ , puis $u_3=2\times29+3=61$ . La valeur $29$ correspond au terme $u_2$ , et non à $u_3$ .

Answer

On résout $$L=aL+b$$, ce qui donne $$L=\frac{b}{1-a}$$.

Answer

On pose $$v_n=u_n-L$$, en soustrayant le point fixe à chaque terme.

Answer

On pose $$v_{n+1}=u_{n+1}-L$$, puis on utilise $$L=aL+b$$ pour obtenir $$v_{n+1}=av_n$$.

Answer

$$u_n=v_n+L$$

Answer

$$u_n=8\times2^n-3$$

Question 5

5. Pour une suite vérifiant $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\ne1$ , comment calcule-t-on son point fixe $L$ ?

On résout

L=u_n+a+b

, ce qui donne

L=u_n+a+b

.

On impose

L=au_n+b

pour chaque rang, ce qui donne

L=au_n+b

.

On résout

L=a+b

, ce qui donne

L=a+b

.

On résout

L=aL+b

, ce qui donne

L=\frac{b}{1-a}

.

Explication

Le point fixe est une constante qui reste inchangée par la transformation affine, donc elle vérifie $L=aL+b$ et ainsi $L=\frac{b}{1-a}$ . Une expression contenant $u_n$ dépend du rang et ne définit donc pas une constante point fixe.

Question 6

6. Comment définit-on la suite auxiliaire associée à une suite arithmético-géométrique de point fixe $L$ ?

On pose

v_n=Lu_n

, en multipliant chaque terme par le point fixe.

On pose

v_n=u_{n+1}-u_n

, en calculant l’écart entre deux termes consécutifs.

On pose

v_n=u_n+L

, en ajoutant le point fixe à chaque terme.

On pose

v_n=u_n-L

, en soustrayant le point fixe à chaque terme.

Explication

La suite auxiliaire est construite par translation des termes initiaux selon la définition $v_n=u_n-L$ . L’addition, la multiplication ou la différence entre termes consécutifs correspondent à d’autres transformations et ne donnent pas la suite auxiliaire indiquée.

Question 7

7. Pour montrer que la suite auxiliaire associée à $u_{n+1}=au_n+b$ est géométrique, quelle transformation permet d’obtenir sa relation de récurrence ?

On pose

v_{n+1}=u_{n+1}+L

, puis on utilise

L=aL+b

pour obtenir

v_{n+1}=av_n

.

On pose

v_{n+1}=u_{n+1}-L

, puis on utilise

L=aL+b

pour obtenir

v_{n+1}=av_n

.

On remplace directement

u_n

par

v_n

dans

u_{n+1}=au_n+b

afin d’obtenir

v_{n+1}=av_n+b

.

On soustrait

aL

à la relation initiale et l’on obtient

v_{n+1}=a v_n+b-L

.

Explication

En introduisant $v_n=u_n-L$ et en utilisant la relation du point fixe $L=aL+b$ , le terme constant disparaît et l’on obtient $v_{n+1}=av_n$ . La suite initiale conserve, quant à elle, le terme constant $b$ dans sa relation de récurrence.

Question 8

8. Si $v_n=u_n-L$ , quelle relation permet de retrouver le terme $u_n$ de la suite initiale ?

u_n=v_n-L

u_n=L-v_n

u_n=v_n+L

u_n=v_nL

Explication

La définition $v_n=u_n-L$ se réarrange en ajoutant $L$ aux deux membres, ce qui donne $u_n=v_n+L$ . Soustraire $L$ une seconde fois conduirait à une expression incompatible avec la définition de la suite auxiliaire.

Question 9

9. Pour la suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ , quelle est sa formule explicite ?

u_n=8\times2^n+3

u_n=8\times2^n-3

u_n=5\times2^n-3

u_n=5\times2^n+3

Explication

Le point fixe vaut $L=\frac{3}{1-2}=-3$ et le premier terme auxiliaire vaut $v_0=5-(-3)=8$ , donc $u_n=v_n+L=8\times2^n-3$ . L’expression avec un terme constant positif ne respecte pas le point fixe associé à la récurrence.

QCM : Suites arithmético-géométriques — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation de récurrence caractérise une suite arithmético-géométrique ?

2. Quelle distinction entre les trois types de suites est correcte ?

3. Pour calculer successivement les termes d’une suite définie par récurrence, quelle méthode faut-il appliquer ?

4. Pour $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ , quelle est la valeur de $u_3$ ?

5. Pour une suite vérifiant $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\ne1$ , comment calcule-t-on son point fixe $L$ ?

6. Comment définit-on la suite auxiliaire associée à une suite arithmético-géométrique de point fixe $L$ ?

7. Pour montrer que la suite auxiliaire associée à $u_{n+1}=au_n+b$ est géométrique, quelle transformation permet d’obtenir sa relation de récurrence ?

8. Si $v_n=u_n-L$ , quelle relation permet de retrouver le terme $u_n$ de la suite initiale ?

9. Pour la suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ , quelle est sa formule explicite ?

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QCM : Suites arithmético-géométriques — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation de récurrence caractérise une suite arithmético-géométrique ?

2. Quelle distinction entre les trois types de suites est correcte ?

3. Pour calculer successivement les termes d’une suite définie par récurrence, quelle méthode faut-il appliquer ?

4. Pour u0=5u_0=5u0​=5 et un+1=2un+3u_{n+1}=2u_n+3un+1​=2un​+3, quelle est la valeur de u3u_3u3​ ?

5. Pour une suite vérifiant un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+bun+1​=aun​+b avec a≠1a\ne1a=1, comment calcule-t-on son point fixe LLL ?

6. Comment définit-on la suite auxiliaire associée à une suite arithmético-géométrique de point fixe LLL ?

7. Pour montrer que la suite auxiliaire associée à un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+bun+1​=aun​+b est géométrique, quelle transformation permet d’obtenir sa relation de récurrence ?

8. Si vn=un−Lv_n=u_n-Lvn​=un​−L, quelle relation permet de retrouver le terme unu_nun​ de la suite initiale ?

9. Pour la suite définie par u0=5u_0=5u0​=5 et un+1=2un+3u_{n+1}=2u_n+3un+1​=2un​+3, quelle est sa formule explicite ?

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4. Pour $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ , quelle est la valeur de $u_3$ ?

5. Pour une suite vérifiant $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\ne1$ , comment calcule-t-on son point fixe $L$ ?

6. Comment définit-on la suite auxiliaire associée à une suite arithmético-géométrique de point fixe $L$ ?

7. Pour montrer que la suite auxiliaire associée à $u_{n+1}=au_n+b$ est géométrique, quelle transformation permet d’obtenir sa relation de récurrence ?

8. Si $v_n=u_n-L$ , quelle relation permet de retrouver le terme $u_n$ de la suite initiale ?

9. Pour la suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n+3$ , quelle est sa formule explicite ?