Fiche de révision : Suites arithmético-géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition et distinctions des suites
2. Calcul des premiers termes
3. Point fixe et suite auxiliaire
4. Expression explicite de la suite
5. Résolution des problèmes de seuil

📖 1. Définition et distinctions des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique s’il existe deux réels a et b tels que $u_{n+1}=au_n+b$.

📝 Points essentiels

📌 Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$, une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=qu_n$, tandis qu’une suite arithmético-géométrique vérifie $u_{n+1}=au_n+b$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q ; arithmético-géométrique : on fait les deux.

📖 2. Calcul des premiers termes

★ À maîtriser

• Pour calculer les premiers termes d’une suite définie par récurrence, on remplace successivement n par le terme précédent dans la relation donnée.

Compléments

• Pour u_0=5 et $u_{n+1}=2u_n+3$, on obtient u_1=13, u_2=29 et u_3=61.

💡 Astuce mémo

Terme précédent → multiplication par a → addition de b.

📖 3. Point fixe et suite auxiliaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite auxiliaire : La suite auxiliaire associée à une suite arithmético-géométrique est définie par $v_n=u_n-L$, où L vérifie $L=aL+b$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le point fixe L associé à $u_{n+1}=au_n+b$ vérifie $L=aL+b$, donc $L=\frac{b}{1-a}$.

💡 Astuce mémo

Le point fixe L annule le terme constant b → la suite auxiliaire devient géométrique.

📖 4. Expression explicite de la suite

★ À maîtriser

• Pour montrer que la suite auxiliaire est géométrique, on écrit $v_{n+1}=u_{n+1}-L$, on remplace u_{n+1} par $au_n+b$, puis on utilise $L=aL+b$ pour obtenir $v_{n+1}=av_n$.

📐 Formule — La suite auxiliaire est géométrique de raison a et vérifie $v_n=v_0a^n$.

Compléments

📐 Formule — Le premier terme de la suite auxiliaire est $v_0=u_0-L$.

• Pour u_0=5 et $u_{n+1}=2u_n+3$, on a $L=-3$, $v_0=8$ et $v_n=8\times2^n$.

💡 Astuce mémo

L → v_n → u_n.

📖 5. Résolution des problèmes de seuil

★ À maîtriser

📐 Formule — Comme $v_n=u_n-L$, on obtient $u_n=v_n+L$.

📐 Formule — Pour $u_{n+1}=au_n+b$, la formule explicite est $u_n=L+(u_0-L)a^n$ avec $L=\frac{b}{1-a}$.

Compléments

• Pour u_0=5 et $u_{n+1}=2u_n+3$, la formule explicite est $u_n=8\times2^n-3$.

💡 Astuce mémo

Formule explicite → inégalité → logarithmes → plus petit entier.

📊 Tableaux de synthèse

Types de suites