Fiche de révision : Suites et limites

📋 Plan du Cours

1. Principe du raisonnement par récurrence
2. Applications de la récurrence
3. Inégalité de Bernoulli et initialisation
4. Limites infinies et finies
5. Opérations sur les limites
6. Levée des formes indéterminées

📖 1. Principe du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété héréditaire : Vraie pour un entier k, elle est aussi vraie pour l’entier k+1.

★ À maîtriser

📌 Pour démontrer par récurrence qu’une propriété P est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n₀, il faut établir qu’elle est vraie au rang n₀ (initialisation) et héréditaire à partir de ce rang.

• 🔄 Une démonstration par récurrence suit trois étapes:
  1. Initialisation au premier rang
  2. Hérédité du rang k au rang k+1
  3. Conclusion pour tous les rangs concernés

Compléments

• Le principe du raisonnement par récurrence est attribué au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), tandis que le nom aurait probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912).

💡 Astuce mémo

Une file de dominos : le premier tombe, puis chaque domino fait tomber le suivant.

📖 2. Applications de la récurrence

📝 Points essentiels

• Pour tout entier naturel n non nul, la propriété $2^n>n$ se démontre par récurrence en l’initialisant à n=1 puis en utilisant $2^{k+1}=2\times2^k>2k\geq k+1$ pour l’hérédité.

• Si $u_{n+1}=u_n+2n+3$ et $u_0=1$, alors une démonstration par récurrence établit que $u_n=(n+1)^2$ pour tout entier naturel n.

• Pour la suite définie par $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+2$ et $u_0=2$, la récurrence permet de démontrer $u_{n+1}\geq u_n$, donc que la suite est croissante.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 3. Inégalité de Bernoulli et initialisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel positif a et tout entier naturel n, l’inégalité de Bernoulli est $\left(1+a\right)^n\geq 1+na$.

• La propriété « $2^n$ est divisible par 3 » est héréditaire, car la divisibilité de $2^k$ par 3 entraînerait celle de $2^{k+1}$, mais elle n’est jamais vraie puisque l’initialisation n’est pas vérifiée.

Compléments

📌 Dans la démonstration de l’inégalité de Bernoulli, l’hérédité utilise $1+a>0$ et $ka^2\geq0$ pour passer de $\left(1+a\right)^k\geq1+ka$ à $\left(1+a\right)^{k+1}\geq1+(k+1)a$.

💡 Astuce mémo

Sans initialisation, l’hérédité peut propager une propriété fausse.

📖 4. Limites infinies et finies

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Si, dans tout intervalle ouvert contenant L, tous ses termes appartiennent à cet intervalle à partir d’un certain rang ; elle est alors convergente.

📝 Points essentiels

📌 Une suite divergente n’est pas nécessairement de limite infinie : la suite de terme général $(-1)^n$ est divergente car elle alterne entre −1 et 1, sans limite finie ni limite infinie.

📐 Formule — Les limites usuelles sont $\lim_{n\to+\infty}n=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty$, et $\lim_{n\to+\infty}\frac1n=\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0$.

💡 Astuce mémo

+∞ signifie dépasser tout seuil, tandis qu’une limite finie signifie se rapprocher d’une valeur.

📖 5. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• Pour une somme de suites, les limites s’additionnent lorsque l’opération est déterminée ; les cas $+\infty-\infty$ et $-\infty+\infty$ sont des formes indéterminées.

• Pour un produit de suites, les limites se multiplient lorsque l’opération est déterminée, en utilisant la règle des signes pour le signe de l’infini ; le cas $0\times\infty$ est indéterminé.

• Pour un quotient de suites, les limites se divisent lorsque le dénominateur a une limite non nulle ou infinie et que l’opération est déterminée ; les cas $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac00$ sont indéterminés.

Compléments

• Les opérations sur les limites donnent $\lim_{n\to+\infty}(n^2+n)=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}\left(\frac1{\sqrt n}+1\right)(n^2+3)=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{-n^2-3}=0$.

📖 6. Levée des formes indéterminées

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Une expression de limites dont la valeur éventuelle ne peut pas être prévue directement avec les règles d’opérations ; les quatre formes sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac\infty\infty$ et $\frac00$.

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour lever une forme indéterminée, il faut:

  1. Identifier la forme
  2. Transformer l’expression par factorisation ou expression conjuguée
  3. Appliquer les règles de limites à l’expression obtenue

• La factorisation par le terme dominant permet d’obtenir $\lim_{n\to+\infty}\frac{5n^2+4}{4n^2+3n}=\frac54$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+n}{n+3}=+\infty$.

• L’expression conjuguée transforme $\sqrt{n+2}-\sqrt n$ en $\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt n}$, ce qui donne une limite égale à 0.

💡 Astuce mémo

Identifier → transformer algébriquement → appliquer les opérations sur les limites.

📊 Tableaux de synthèse

Types de limites