QCM : Suites et limites — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie qu’une propriété est héréditaire à partir d’un certain rang ?

Si elle est vraie pour un entier k, elle est vraie pour l’entier k+1
Si elle est vraie au premier rang, elle est vraie pour chaque entier suivant
Si elle est vraie pour un entier k, elle est vraie pour l’entier k+2
Si elle est fausse pour un entier k, elle devient vraie pour l’entier k+1

Si elle est vraie pour un entier k, elle est vraie pour l’entier k+1

Explication

L’hérédité signifie que la véracité au rang k entraîne celle au rang k+1. Elle ne garantit pas que la propriété soit vérifiée au premier rang, car cette vérification relève de l’initialisation.

2. Quelles conditions permettent de démontrer par récurrence qu’une propriété P est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n₀ ?

P doit être vraie aux deux premiers rangs, sans étape d’hérédité
P doit être vraie au rang n₀ et héréditaire à partir de ce rang
P doit être héréditaire avant le rang n₀ et vraie à un rang quelconque
P doit être vraie pour un grand entier, puis vérifiée au rang n₀

P doit être vraie au rang n₀ et héréditaire à partir de ce rang

Explication

Une preuve par récurrence nécessite l’initialisation au rang n₀ et l’hérédité de k à k+1. La seule hérédité ne suffit pas si la propriété n’est pas établie au point de départ.

3. Dans quel ordre les étapes d’une démonstration par récurrence sont-elles généralement présentées ?

Initialisation, hérédité, puis conclusion
Hérédité, conclusion, puis initialisation
Initialisation, conclusion, puis hérédité
Conclusion, initialisation, puis hérédité

Initialisation, hérédité, puis conclusion

Explication

La démarche commence par vérifier la propriété au premier rang concerné, puis démontre le passage de k à k+1, avant de conclure pour tous les rangs visés. La conclusion dépend donc des deux étapes précédentes.

4. Pour démontrer par récurrence que 2n>n2^n>n pour tout entier naturel non nul n, quel rang sert d’initialisation ?

Le rang n=0
Le rang n=1
Le rang n=3
Le rang n=2

Le rang n=1

Explication

La propriété est étudiée pour les entiers naturels non nuls et son initialisation se fait à n=1. Le choix de n=0 correspondrait à un autre domaine de départ.

5. Dans la suite définie par un+1=un+2n+3u_{n+1}=u_n+2n+3 et u0=1u_0=1, que représente la formule un=(n+1)2u_n=(n+1)^2 dans une preuve par récurrence ?

La relation qui définit le terme suivant
L’étape d’hérédité entre deux rangs
La valeur initiale de la suite
La propriété à démontrer

La propriété à démontrer

Explication

La formule explicite constitue l’assertion dont on vérifie l’initialisation puis l’hérédité. La relation donnée décrit le calcul de un+1u_{n+1}, tandis qu'u_0=1 fournit la condition initiale.

6. Pour la suite définie par un+1=12un+2u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+2 avec u0=2u_0=2, quelle propriété la récurrence permet-elle de démontrer ?

La suite est alternée, car les termes changent de signe
La suite est décroissante, car un+1≤unu_{n+1}\leq u_n
La suite est constante, car un+1=unu_{n+1}=u_n
La suite est croissante, car un+1≥unu_{n+1}\geq u_n

La suite est croissante, car $$u_{n+1}\geq u_n$$

Explication

La propriété démontrée est un+1≥unu_{n+1}\geq u_n, ce qui entraîne que la suite est croissante. Une suite constante exigerait une égalité entre termes, qui n’est pas la propriété établie ici.

7. Quelle affirmation correspond à l’inégalité de Bernoulli pour un réel positif a et un entier naturel n ?

(1+a)n=1+na\left(1+a\right)^n=1+na
(1+a)n≥1+na\left(1+a\right)^n\geq1+na
(1+a)n≥1+an\left(1+a\right)^n\geq1+a^n
(1+a)n≤1+na\left(1+a\right)^n\leq1+na

$$\left(1+a\right)^n\geq1+na$$

Explication

L’inégalité de Bernoulli affirme que (1+a)n≥1+na\left(1+a\right)^n\geq1+na lorsqu'a est positif ou nul. Il s’agit d’une inégalité générale, et non d’une égalité ni d’une comparaison avec 1+an1+a^n.

8. Pourquoi la propriété « 2n2^n est divisible par 3 » ne peut-elle pas être conclue pour tous les entiers naturels malgré son caractère héréditaire ?

L’exposant n ne peut pas être un entier naturel
Son initialisation n’est pas vérifiée
Son étape d’hérédité ne concerne pas deux rangs consécutifs
La propriété est vraie au premier rang mais fausse au rang suivant

Son initialisation n’est pas vérifiée

Explication

La divisibilité au rang k entraînerait celle au rang k+1, ce qui rend la propriété héréditaire dans le raisonnement considéré. Cependant, elle n’est pas vraie au rang de départ, donc la conclusion par récurrence ne peut pas être obtenue.

9. Quelle condition caractérise une suite convergeant vers un réel LL ?

Ses termes deviennent supérieurs à tout réel fixé
Ses termes alternent entre deux valeurs qui encadrent LL
À partir d’un certain rang, tous ses termes sont égaux à LL
À partir d’un certain rang, tous ses termes appartiennent à tout intervalle ouvert contenant LL

À partir d’un certain rang, tous ses termes appartiennent à tout intervalle ouvert contenant $$L$$

Explication

Une suite converge vers LL lorsque, dans tout intervalle ouvert contenant LL, ses termes se trouvent dans cet intervalle à partir d’un certain rang. La convergence n’exige pas que les termes deviennent égaux à LL.

10. Pourquoi la suite définie par un=(−1)nu_n=(-1)^n est-elle divergente ?

Elle tend vers ++ car ses valeurs changent de signe
Elle tend vers −1-1 car cette valeur apparaît pour une infinité de rangs
Elle alterne entre −1-1 et 11 sans approcher une limite
Elle converge vers 00 parce que ses valeurs restent bornées

Elle alterne entre $$-1$$ et $$1$$ sans approcher une limite

Explication

La suite (−1)n(-1)^n alterne entre −1-1 et 11 et ne possède donc ni limite finie ni limite infinie. Le fait d’être bornée ne suffit pas à assurer la convergence.

11. Quelle limite usuelle est correcte lorsque nn tend vers ++ ?

lim⁡n→+0˘01en=0\lim_{n\to+\u001e}\sqrt n=0
lim⁡n→+0˘01e1n=+0˘01e\lim_{n\to+\u001e}\frac{1}{n}=+\u001e
lim⁡n→+0˘01e1n=0\lim_{n\to+\u001e}\frac{1}{\sqrt n}=0
lim⁡n→+0˘01e1n2=1\lim_{n\to+\u001e}\frac{1}{n^2}=1

$$\lim_{n\to+\u001e}\frac{1}{\sqrt n}=0$$

Explication

L’inverse de n\sqrt n tend vers 00 lorsque nn tend vers +0˘01e+\u001e. En revanche, n\sqrt n tend vers +0˘01e+\u001e et les inverses de nn et de n2n^2 tendent vers 00.

12. Quelle est la nature de l’opération +0˘01e+(−0˘01e)+\u001e+(-\u001e) dans le calcul d’une limite de somme ?

C’est une forme indéterminée
Elle vaut nécessairement 00
Elle vaut nécessairement +0˘01e+\u001e
Elle vaut nécessairement −0˘01e-\u001e

C’est une forme indéterminée

Explication

La combinaison +0˘01e−0˘01e+\u001e-\u001e est une forme indéterminée : les règles d’addition ne permettent pas d’en déduire directement la limite. Une somme de deux infinis de même signe est, elle, déterminée.

13. Que peut-on conclure si une suite tend vers un réel non nul et l’autre vers +0˘01e+\u001e ?

Le produit tend vers 00 quelle que soit la valeur du réel
Le produit tend vers un infini dont le signe dépend du réel non nul
Le produit n’a pas de limite parce qu’un facteur est infini
Le produit constitue la forme indéterminée 0×0˘01e0\times\u001e

Le produit tend vers un infini dont le signe dépend du réel non nul

Explication

Le produit d’une limite non nulle par un infini est déterminé, et son signe dépend du signe du facteur non nul. La forme indéterminée 0×0˘01e0\times\u001e concerne un facteur qui tend vers zéro.

14. Laquelle de ces situations représente une forme indéterminée pour un quotient de suites ?

Le quotient d’une suite tendant vers 00 par une suite tendant vers 55
Le quotient de deux suites tendant toutes deux vers +0˘01e+\u001e
Le quotient d’une suite tendant vers 22 par une suite tendant vers +0˘01e+\u001e
Le quotient d’une suite tendant vers +0˘01e+\u001e par une suite tendant vers 33

Le quotient de deux suites tendant toutes deux vers $$+\u001e$$

Explication

Le quotient 0˘01e0˘01e\frac{\u001e}{\u001e} est indéterminé et nécessite une transformation ou une comparaison supplémentaire. Les quotients avec un dénominateur tendant vers une limite non nulle ou infinie peuvent être déterminés selon le cas.

15. Que signifie une forme indéterminée dans un calcul de limite ?

La limite est nécessairement égale à zéro après simplification
La suite possède nécessairement une limite infinie
La suite est nécessairement dépourvue de toute limite
Les règles d’opérations ne permettent pas encore de prévoir la valeur éventuelle de la limite

Les règles d’opérations ne permettent pas encore de prévoir la valeur éventuelle de la limite

Explication

Une forme indéterminée indique que les règles usuelles ne suffisent pas à déterminer directement la limite. Elle ne prouve pas que la limite n’existe pas, car une transformation peut encore permettre de la calculer.

16. Quelle démarche permet de lever correctement une forme indéterminée ?

Conclure à une divergence dès qu’une forme indéterminée apparaît
Comparer les seuls premiers termes de la suite avant de calculer
Identifier la forme, transformer l’expression, puis appliquer les règles de limites
Remplacer chaque terme par sa limite sans modifier l’expression

Identifier la forme, transformer l’expression, puis appliquer les règles de limites

Explication

Il faut d’abord reconnaître la forme indéterminée, puis transformer l’expression par factorisation ou à l’aide d’une expression conjuguée. Les règles de limites s’appliquent ensuite à l’expression obtenue.

17. Quelle est la limite de la suite définie par un=5n2+44n2+3nu_n=\frac{5n^2+4}{4n^2+3n} lorsque nn tend vers +0˘01e+\u001e ?

+0˘01e+\u001e
54\frac54
00
45\frac45

$$\frac54$$

Explication

En factorisant par le terme dominant n2n^2 au numérateur et au dénominateur, les termes de plus faible degré deviennent négligeables et le quotient des coefficients dominants donne 54\frac54. La présence de n2n^2 dans les deux parties ne conduit donc pas directement à une limite infinie.

18. Quelle transformation permet de calculer la limite de n+2−n\sqrt{n+2}-\sqrt n lorsque nn tend vers +0˘01e+\u001e ?

La factoriser par nn afin d’obtenir une différence de deux constantes
La transformer en n+2+n2\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt n}{2} par addition des racines
La multiplier par son expression conjuguée pour obtenir 2n+2+n\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt n}
La remplacer par 2\sqrt2 car les deux racines diffèrent de deux

La multiplier par son expression conjuguée pour obtenir $$\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt n}$$

Explication

La multiplication par l’expression conjuguée rationalise la différence et donne 2n+2+n\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt n}, dont le dénominateur tend vers +0˘01e+\u001e ; la limite vaut donc 00. Les deux racines ne se remplacent pas directement par leurs différences d’indices.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 39 flashcards sur Suites et limites.

À quel mathématicien est attribué le raisonnement par récurrence ?

Giuseppe Peano.

Qui aurait donné le nom au raisonnement par récurrence ?

Henri Poincaré.

Qu'est-ce qu'une propriété héréditaire à partir d'un rang ?

Une propriété vraie pour k est aussi vraie pour k+1.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Suites et limites.

Voir la fiche →

Cours similaires

Familles des Orthoptères

Structure et dynamique du globe

SVT

Développer en calcul littéral

Mathématiques

Régulation de la transcription

Histoire sociale du sport

Structure et classification des protéines

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM