★ À maîtriser
📌 Pour démontrer par récurrence qu’une propriété P est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n₀, il faut établir qu’elle est vraie au rang n₀ (initialisation) et héréditaire à partir de ce rang.
Compléments
1. Que signifie qu’une propriété est héréditaire à partir d’un certain rang ?
2. Quelles conditions permettent de démontrer par récurrence qu’une propriété P est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n₀ ?
3. Dans quel ordre les étapes d’une démonstration par récurrence sont-elles généralement présentées ?
À quel mathématicien est attribué le raisonnement par récurrence ?
Giuseppe Peano.
Qui aurait donné le nom au raisonnement par récurrence ?
Henri Poincaré.
Qu'est-ce qu'une propriété héréditaire à partir d'un rang ?
Une propriété vraie pour k est aussi vraie pour k+1.
Que faut-il démontrer pour prouver une propriété par récurrence à partir de n₀ ?
Qu'elle est vraie au rang n₀ et héréditaire à partir de ce rang.
Quelles sont les trois étapes d'une démonstration par récurrence ?
Initialisation, hérédité, puis conclusion.
Comment démontre-t-on que pour tout entier naturel non nul ?
Par récurrence en initialisant à et utilisant l'inégalité pour l'hérédité.
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