QCM : Suites et récurrence — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que représente le terme général UnU_n d’une suite numérique ?

Le nombre de termes calculés avant l’indice nn
Le quotient entre deux termes consécutifs d’indices nn et n+1n+1
La différence entre les termes d’indices nn et n+1n+1
La valeur située à la position correspondant à l’indice nn

La valeur située à la position correspondant à l’indice $$n$$

Explication

Le terme général UnU_n désigne la valeur associée à l’indice nn, donc à une position précise de la suite. La différence entre deux termes consécutifs sert plutôt à étudier les variations ou à reconnaître une suite arithmétique.

2. Quelle relation caractérise une suite définie par récurrence ?

Un+1=qUnU_{n+1}=qU_n, avec un quotient constant entre les termes
Un+1−Un=rU_{n+1}-U_n=r, avec une différence constante entre les termes
Un=f(n)U_n=f(n), avec chaque terme donné directement par son indice
Un+1=f(Un)U_{n+1}=f(U_n), avec le terme suivant déterminé par le précédent

$$U_{n+1}=f(U_n)$$, avec le terme suivant déterminé par le précédent

Explication

Une définition par récurrence exprime le terme suivant à partir du terme précédent selon une relation comme Un+1=f(Un)U_{n+1}=f(U_n). La relation Un=f(n)U_n=f(n) correspond à une formule explicite, tandis que les deux autres formes décrivent des cas particuliers de suites arithmétiques ou géométriques.

3. Une formule donne directement UnU_n en fonction de nn, sans calculer les termes précédents : de quel type de définition s’agit-il ?

D’une définition par quotient constant
D’une définition explicite
D’une définition par différence constante
D’une définition par récurrence

D’une définition explicite

Explication

Une formule explicite permet d’obtenir directement le terme d’indice nn à partir de cet indice. Une définition par récurrence demande au contraire de construire les termes successivement à partir du terme précédent.

4. Quelle expression calcule-t-on en priorité pour étudier le sens de variation d’une suite ?

Le quotient Un+1Un\frac{U_{n+1}}{U_n}
La somme Un+1+UnU_{n+1}+U_n
Le produit Un+1×UnU_{n+1}\times U_n
La différence Un+1−UnU_{n+1}-U_n

La différence $$U_{n+1}-U_n$$

Explication

La différence Un+1−UnU_{n+1}-U_n compare directement deux termes consécutifs et permet de déterminer le sens de variation. Le quotient peut être utile pour certaines suites géométriques, mais il ne constitue pas le critère général demandé ici.

5. Si une suite vérifie Un+1−Un>0U_{n+1}-U_n>0 pour tout indice considéré, que peut-on en déduire ?

La suite est constante
La suite alterne entre deux valeurs
La suite est décroissante
La suite est croissante

La suite est croissante

Explication

Une différence positive signifie que Un+1>UnU_{n+1}>U_n, donc chaque terme est supérieur au précédent et la suite est croissante. Une différence négative conduirait à une suite décroissante, tandis qu’une différence nulle indiquerait une suite constante.

6. Une suite vérifie Un+1−Un<0U_{n+1}-U_n<0 pour chaque indice : quel est son sens de variation ?

Elle oscille entre des montées et des descentes
Elle est décroissante
Elle est croissante
Elle est constante

Elle est décroissante

Explication

Une différence négative implique Un+1<UnU_{n+1}<U_n, ce qui caractérise une suite décroissante. Une suite oscillante change de sens de variation, alors qu’ici le signe négatif reste le même pour chaque indice.

7. Quelle propriété permet de reconnaître une suite arithmétique ?

Le quotient entre deux termes consécutifs est constant
Chaque terme est obtenu en ajoutant son propre indice
La différence entre deux termes consécutifs est constante
Les termes successifs alternent entre deux valeurs fixes

La différence entre deux termes consécutifs est constante

Explication

Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs garde une valeur constante appelée raison rr. Un quotient constant caractérise plutôt une suite géométrique.

8. Quelle propriété définit une suite géométrique de raison qq ?

La somme de deux termes consécutifs est constante
Le terme suivant est obtenu en ajoutant l’indice courant
Le quotient entre deux termes consécutifs est constant
La différence entre deux termes consécutifs est constante

Le quotient entre deux termes consécutifs est constant

Explication

Une suite géométrique possède un quotient constant entre deux termes consécutifs, et cette constante est sa raison qq. La constance de la différence correspond à la définition d’une suite arithmétique.

9. Que décrit la limite de la suite qnq^n lorsque nn devient très grand ?

Son comportement à très long terme
La valeur de son premier terme
La somme de ses termes successifs
La variation de sa base au cours du temps

Son comportement à très long terme

Explication

La limite de qnq^n permet d’étudier le comportement de la suite lorsque l’indice devient très grand. La valeur du premier terme ne renseigne pas directement sur son évolution à long terme.

10. Que devient qnq^n lorsque −1<q<1-1<q<1 et que nn augmente indéfiniment ?

La suite tend vers +∞+\infty
La suite tend vers 00
La suite tend vers 11
La suite alterne entre deux valeurs fixes

La suite tend vers $$0$$

Explication

Pour une base comprise entre −1-1 et 11, les puissances successives se rapprochent de 00 lorsque nn devient très grand. La divergence vers +∞+\infty correspond plutôt au cas d’une base telle que q>1q>1.

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Mémorisez les réponses avec 15 flashcards sur Suites et récurrence.

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique associe à chaque indice n un terme U_n.

Quelle formule caractérise une suite définie par récurrence ?

Un+1=f(Un)U_{n+1}=f(U_n)

De quoi dépend le terme suivant dans une suite définie par récurrence ?

Il dépend uniquement du terme précédent.

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