Fiche de révision : Suites et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définir une suite numérique
2. Étudier les variations
3. Suites arithmétiques et géométriques
4. Comportement de q puissance n

📖 1. Définir une suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Associe à chaque indice n un terme général U_n, qui représente la valeur située à la position n.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une suite définie par récurrence vérifie $U_{n+1}=f(U_n)$, de sorte que le terme suivant dépend uniquement du terme précédent.

📌 Une suite par formule explicite donne directement le terme U_n à partir de l’indice n sans calculer tous les termes précédents.

💡 Astuce mémo

Une file d’attente où chaque position n porte une valeur U_n.

📖 2. Étudier les variations

★ À maîtriser

• Pour étudier le sens de variation d’une suite, on calcule la différence $U_{n+1}-U_n$.

📌 Si $U_{n+1}-U_n>0$, alors U_{n+1}>U_n et la suite est croissante.

📌 Si $U_{n+1}-U_n<0$, alors U_{n+1}<U_n et la suite est décroissante.

Compléments

📌 Si $U_{n+1}-U_n=0$, la suite est constante, tandis qu’une suite dont les valeurs oscillent entre montées et descentes n’est pas monotone.

💡 Astuce mémo

C-C : Croissance par Calcul de la différence.

📖 3. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dont la différence entre deux termes consécutifs est toujours égale à une constante appelée raison r.
• Suite géométrique : Suite dont le quotient entre deux termes consécutifs est constant, cette constante étant appelée raison q.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = différence constante ; géométrique = quotient constant.

📖 4. Comportement de q puissance n

📝 Points essentiels

• La limite de q^n décrit le comportement de la suite à très long terme.

📌 Si q est compris entre -1 et 1, alors q^n tend vers 0 lorsque n devient très grand.

💡 Astuce mémo

La valeur de q détermine le comportement à long terme de q^n.