Flashcards : Suites et récurrence — 33 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Réponse

Une fonction définie sur une partie infinie de ℕ.

2Question

Quelle différence y a-t-il entre une suite explicite et une suite par récurrence ?

Réponse

La suite explicite donne le terme général directement, la suite par récurrence donne un terme initial et une relation pour le terme suivant.

3Question

Que vaut $U_0$ pour la suite $U_n = n^2$ ?

Réponse

$U_0 = 0$ .

4Question

Que vaut $U_1$ pour la suite $U_n = n^2$ ?

Réponse

$U_1 = 1$ .

5Question

Que vaut $U_{10}$ pour la suite $U_n = n^2$ ?

Réponse

$U_{10} = 100$ .

6Question

Quel est le terme initial $U_0$ de la suite définie par $U_{n+1} = U_n + 2$ ?

Réponse

$U_0 = 2$ .

7Question

Que vaut $U_1$ pour la suite définie par $U_0=2$ et $U_{n+1} = U_n + 2$ ?

Réponse

$U_1 = 4$ .

8Question

Que vaut $U_{10}$ pour la suite définie par $U_0=2$ et $U_{n+1} = U_n + 2$ ?

Réponse

$U_{10} = 22$ .

9Question

Qu'impose la définition d'une suite croissante ?

Réponse

Pour tout entier naturel n, $U_{n+1}\geq U_n$ .

10Question

Qu'impose la définition d'une suite décroissante ?

Réponse

Pour tout entier naturel n, $U_{n+1}\leq U_n$ .

11Question

Quelle condition montre qu'une suite est croissante ?

Réponse

$U_{n+1}-U_n\geq0$ montre la croissance.

12Question

Quelle condition montre qu'une suite est décroissante ?

Réponse

$U_{n+1}-U_n\leq0$ montre la décroissance.

13Question

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Réponse

Une suite où chaque terme s'obtient en ajoutant toujours le même nombre r.

14Question

Quelle relation vérifie une suite arithmétique entre termes consécutifs ?

Réponse

$U_{n+1}=U_n+r$

15Question

Quelle est l'expression explicite d'une suite arithmétique ?

Réponse

$U_n=U_0+nr$

16Question

Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Réponse

Une suite où chaque terme s'obtient en multipliant toujours par le même nombre q.

17Question

Quelle relation vérifie une suite géométrique entre termes consécutifs ?

Réponse

$U_{n+1}=U_nq$

18Question

Quelle est l'expression explicite d'une suite géométrique ?

Réponse

$U_n=U_0q^n$

19Question

Comment distingue-t-on une suite arithmétique d'une suite géométrique ?

Réponse

La différence $U_{n+1}-U_n$ est constante pour une arithmétique, le quotient $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ est constant pour une géométrique.

20Question

Quelle transformation simplifie la suite $U_0=2$ , $U_{n+1}=2U_n+1$ ?

Réponse

Poser $V_n=U_n+1$ donne $V_{n+1}=2V_n$ , puis $U_n=3\times2^n-1$ .

21Question

Quelle est la formule de la somme des entiers de 0 à n ?

Réponse

$0+1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ .

22Question

Comment s'exprime la somme des entiers de p à n ?

Réponse

$p+(p+1)+\cdots+n=\frac{(n-p+1)(n+p)}{2}$ .

23Question

Quelle formule donne la somme géométrique pour $q \neq 1$ ?

Réponse

$q^0+q^1+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .

24Question

Qu'est-ce qu'un raisonnement par récurrence ?

Réponse

C'est une démonstration montrant qu'une propriété est initialisée puis héréditaire sur les entiers naturels.

25Question

Quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence ?

Réponse

Initialisation, hérédité fondée sur l'hypothèse de récurrence, puis conclusion pour tout entier naturel.

26Question

Sur quoi repose l'initialisation de la somme géométrique au rang 0 ?

Réponse

Sur l'égalité $q^0=1$ et $\frac{1-q^{0+1}}{1-q}=1$ .

27Question

Quelle inégalité l'initialisation donne-t-elle pour la suite $U_n$ définie par $U_0=3$ et $U_{n+1}=2U_n-4$ ?

Réponse

$U_0=3<4$ .

28Question

Que montre l'hérédité pour la suite $U_n$ avec $U_{n+1}=2U_n-4$ ?

Réponse

Si $U_n<4$ alors $U_{n+1}<4$ .

29Question

Quelle inégalité est démontrée par récurrence pour la suite $V_n$ définie par $V_0=3$ et $V_{n+1}=f(V_n)$ avec $f(x)=\frac{x-7}{x+3}$ ?

Réponse

On a $-7<V_{n+1}<V_n$ pour tout $n$ .

30Question

Quelle propriété de la fonction $f(x)=\frac{x-7}{x+3}$ est utilisée pour montrer l'inégalité sur $V_n$ ?

Réponse

La fonction $f$ est croissante sur $]-3; +\infty[$ .

31Question

Quelle est la dérivée de $f(x)=\frac{x-7}{x+3}$ ?

Réponse

$f'(x)=\frac{4}{(x+3)^2}$ .

32Question

Quelle est la nature de la dérivée $f'(x)$ de $f(x)=\frac{x-7}{x+3}$ sur $]-3; +\infty[$ ?

Réponse

$f'(x)>0$ sur $]-3; +\infty[$ .

33Question

Quelle conclusion tire-t-on de $f'(x)>0$ pour $f(x)=\frac{x-7}{x+3}$ sur $]-3; +\infty[$ ?

Réponse

La fonction $f$ est croissante sur cet intervalle.

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