QCM : Suites et récurrence — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété définit une suite numérique ?

Une fonction définie sur un ensemble fini d’entiers
Une fonction définie sur un intervalle réel fermé
Une fonction définie sur une partie infinie de N\mathbb{N}
Une fonction constante définie sur R\mathbb{R}

Une fonction définie sur une partie infinie de $$\mathbb{N}$$

Explication

Une suite est une fonction dont les indices appartiennent à une partie infinie de N\mathbb{N}. Une fonction définie sur un intervalle réel ou sur un ensemble fini ne correspond pas à cette définition.

2. Quelle différence distingue une suite explicite d’une suite définie par récurrence ?

La suite explicite calcule les différences, tandis que la récurrence calcule les quotients consécutifs
La suite explicite donne directement le terme général, tandis que la récurrence utilise un terme initial et une relation
La suite explicite concerne les suites arithmétiques, tandis que la récurrence concerne les suites géométriques
La suite explicite utilise un terme initial, tandis que la récurrence donne directement tous les termes

La suite explicite donne directement le terme général, tandis que la récurrence utilise un terme initial et une relation

Explication

Une expression explicite permet d’obtenir directement UnU_n, alors qu’une définition par récurrence fournit un terme initial et une relation de calcul. La distinction ne dépend pas du fait que la suite soit arithmétique ou géométrique.

3. Quelle condition permet d’affirmer qu’une suite est croissante ?

Pour tout entier naturel nn, Un+1≤UnU_{n+1}\leq U_n
Pour tout entier naturel nn, Un+1>UnU_{n+1}>U_n
Pour tout entier naturel nn, Un+1≥UnU_{n+1}\geq U_n
Pour tout entier naturel nn, Un+1=Un−1U_{n+1}=U_n-1

Pour tout entier naturel $$n$$, $$U_{n+1}\geq U_n$$

Explication

Une suite croissante vérifie Un+1≥UnU_{n+1}\geq U_n pour chaque indice. L’inégalité inverse caractérise la décroissance, tandis qu’une égalité stricte n’est pas exigée.

4. Quelle condition caractérise une suite décroissante ?

Pour tout entier naturel nn, Un+1>UnU_{n+1}>U_n
Pour tout entier naturel nn, Un+1≤UnU_{n+1}\leq U_n
Pour tout entier naturel nn, Un+1=Un+1U_{n+1}=U_n+1
Pour tout entier naturel nn, Un+1≥UnU_{n+1}\geq U_n

Pour tout entier naturel $$n$$, $$U_{n+1}\leq U_n$$

Explication

Une suite décroissante vérifie Un+1≤UnU_{n+1}\leq U_n pour tout entier naturel nn. La condition Un+1≥UnU_{n+1}\geq U_n correspond à une suite croissante.

5. Pour montrer qu’une suite est croissante à l’aide de deux termes consécutifs, quelle expression doit être positive ou nulle ?

La différence Un+1−UnU_{n+1}-U_n
Le produit Un+1UnU_{n+1}U_n
Le quotient Un+1Un\frac{U_{n+1}}{U_n}
La somme Un+1+UnU_{n+1}+U_n

La différence $$U_{n+1}-U_n$$

Explication

La croissance se démontre en établissant Un+1−Un≥0U_{n+1}-U_n\geq0 pour tout nn. Une somme, un produit ou un quotient positif ne suffit pas à comparer directement deux termes consécutifs.

6. Comment obtient-on chaque terme d’une suite arithmétique ?

En ajoutant une quantité différente à chaque étape
En multipliant le terme précédent par une même raison qq
En divisant le terme précédent par son indice
En ajoutant une même raison rr au terme précédent

En ajoutant une même raison $$r$$ au terme précédent

Explication

Une suite arithmétique est construite en ajoutant constamment le même nombre rr. La multiplication par une raison caractérise plutôt une suite géométrique.

7. Quelle propriété définit une suite géométrique ?

Le terme général est obtenu en élevant l’indice au carré
La différence entre deux termes consécutifs augmente à chaque rang
Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une même raison qq
Chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent une même raison rr

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une même raison $$q$$

Explication

Dans une suite géométrique, le passage d’un terme au suivant se fait par multiplication par une constante qq. L’ajout d’une constante relève de la définition d’une suite arithmétique.

8. Pour la suite définie par U0=2U_0=2 et Un+1=2Un+1U_{n+1}=2U_n+1, quelle expression de UnU_n obtient-on après le changement de variable approprié ?

Un=2×3n+1U_n=2\times3^n+1
Un=2n−3U_n=2^n-3
Un=3×2n+1U_n=3\times2^n+1
Un=3×2n−1U_n=3\times2^n-1

$$U_n=3\times2^n-1$$

Explication

En posant Vn=Un+1V_n=U_n+1, on obtient Vn+1=2VnV_{n+1}=2V_n et Vn=3×2nV_n=3\times2^n, donc Un=3×2n−1U_n=3\times2^n-1. Les autres expressions ne vérifient pas simultanément la valeur initiale et la relation de récurrence.

9. Quelle expression donne la somme des entiers naturels de 00 à nn inclus ?

(n+1)(n+2)2\frac{(n+1)(n+2)}{2}
n2+12\frac{n^2+1}{2}
n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}

$$\frac{n(n+1)}{2}$$

Explication

La somme 0+1+2+⋯+n0+1+2+\cdots+n vaut n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}. L’expression n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2} correspondrait à une autre borne supérieure et ne convient pas à cette somme.

10. Quelle formule permet de calculer directement la somme p+(p+1)+⋯+np+(p+1)+\cdots+n pour des entiers pp et nn ?

(n+p+1)(n−p+1)2\frac{(n+p+1)(n-p+1)}{2}
(n−p+1)(n+p)2\frac{(n-p+1)(n+p)}{2}
(n−p+1)(n+p+1)2\frac{(n-p+1)(n+p+1)}{2}
(n−p)(n+p+1)2\frac{(n-p)(n+p+1)}{2}

$$\frac{(n-p+1)(n+p)}{2}$$

Explication

La somme comporte n−p+1n-p+1 termes, dont la moyenne du premier et du dernier vaut p+n2\frac{p+n}{2}, d’où la formule indiquée. Une expression utilisant n−pn-p oublie le terme initial ou modifie le nombre de termes.

11. Pour quelle condition la formule q0+q1+⋯+qn=1−qn+11−qq^0+q^1+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} est-elle applicable ?

Lorsque q<1q<1
Lorsque q≠1q\neq1
Lorsque q=0q=0
Lorsque q=1q=1

Lorsque $$q\neq1$$

Explication

La formule nécessite q≠1q\neq1 afin que le dénominateur 1−q1-q ne soit pas nul. La valeur q=1q=1 constitue précisément le cas où cette écriture entraîne une division par zéro.

12. Quels sont les deux éléments indispensables pour établir une propriété par récurrence sur les entiers naturels ?

Une formule et un contre-exemple
Une hypothèse et une contradiction
Une initialisation et une hérédité
Une définition et une factorisation

Une initialisation et une hérédité

Explication

Une récurrence vérifie d’abord la propriété à un premier rang, puis montre qu’elle se transmet du rang nn au rang suivant. Une hypothèse de récurrence intervient dans cette transmission, mais ne remplace pas l’initialisation.

13. Dans une démonstration par récurrence, quel rôle joue l’hypothèse de récurrence ?

Elle conclut que la propriété est vraie pour tous les rangs naturels
Elle remplace l’étape d’hérédité par un calcul numérique
Elle vérifie directement la propriété au premier rang étudié
Elle suppose la propriété vraie au rang nn pour établir le rang n+1n+1

Elle suppose la propriété vraie au rang $$n$$ pour établir le rang $$n+1$$

Explication

L’hypothèse de récurrence admet la propriété au rang nn afin de démontrer sa validité au rang n+1n+1. Elle ne constitue pas la conclusion générale, qui n’est obtenue qu’après l’initialisation et l’hérédité.

14. Pour la suite définie par U0=3U_0=3 et Un+1=2Un−4U_{n+1}=2U_n-4, quelle affirmation correspond à l’étape d’hérédité de la preuve de Un<4U_n<4 ?

On vérifie directement que U0=3<4U_0=3<4
Si Un<4U_n<4, alors Un+1<4U_{n+1}<4
Si Un+1<4U_{n+1}<4, alors Un<4U_n<4
On suppose que Un+1=3U_{n+1}=3 pour tout entier naturel

Si $$U_n<4$$, alors $$U_{n+1}<4$$

Explication

L’hérédité consiste à partir de l’hypothèse Un<4U_n<4 et à établir l’inégalité au rang suivant, Un+1<4U_{n+1}<4. La vérification de U0=3<4U_0=3<4 relève de l’initialisation et non de l’hérédité.

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Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une fonction définie sur une partie infinie de ℕ.

Quelle différence y a-t-il entre une suite explicite et une suite par récurrence ?

La suite explicite donne le terme général directement, la suite par récurrence donne un terme initial et une relation pour le terme suivant.

Que vaut U0U_0 pour la suite Un=n2U_n = n^2 ?

U0=0U_0 = 0.

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