Fiche de révision : Suites et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Variations d’une suite
3. Suites arithmétiques et géométriques
4. Sommes de termes consécutifs
5. Principe de la récurrence
6. Applications du raisonnement par récurrence

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur une partie infinie de ℕ.

★ À maîtriser

📌 Une suite explicite donne directement le terme général, tandis qu’une suite définie par récurrence donne un terme initial et une relation permettant de calculer le terme suivant.

Compléments

• Pour la suite explicite définie par $U_n=n^2$, on a notamment $U_0=0$, $U_1=1$ et $U_{10}=100$.

• Pour la suite définie par $U_0=2$ et $U_{n+1}=U_n+2$, on obtient $U_1=4$, $U_2=6$ et $U_{10}=22$.

💡 Astuce mémo

Explicite : on calcule directement ; récurrente : on construit terme après terme

📖 2. Variations d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite vérifiant, pour tout entier naturel n, $U_{n+1}\geq U_n$.
• Suite décroissante : Suite vérifiant, pour tout entier naturel n, $U_{n+1}\leq U_n$.

📝 Points essentiels

📌 Pour étudier les variations d’une suite, on montre que $U_{n+1}-U_n\geq0$ pour établir la croissance ou que $U_{n+1}-U_n\leq0$ pour établir la décroissance.

💡 Astuce mémo

Différence positive → croissance ; différence négative → décroissance

📖 3. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dont on obtient chaque terme en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison.
• Suite géométrique : Suite dont on obtient chaque terme en le multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie $U_{n+1}=U_n+r$ et son expression explicite est $U_n=U_0+nr$.

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie $U_{n+1}=U_nq$ et son expression explicite est $U_n=U_0q^n$.

• Pour la suite définie par $U_0=2$ et $U_{n+1}=2U_n+1$, poser $V_n=U_n+1$ donne $V_{n+1}=2V_n$, puis $V_n=3\times2^n$ et enfin $U_n=3\times2^n-1$.

Compléments

📌 Une suite est arithmétique si $U_{n+1}-U_n$ est constant et elle est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant lorsque ce quotient est défini.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q

📖 4. Sommes de termes consécutifs

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, $0+1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule — Pour des entiers p et n, $p+(p+1)+\cdots+n=\frac{(n-p+1)(n+p)}{2}$.

📐 Formule — Pour $q\neq1$, la somme géométrique vérifie $q^0+q^1+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

📖 5. Principe de la récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Raisonnement consistant à montrer qu’une propriété sur les entiers naturels est initialisée puis héréditaire.

★ À maîtriser

• Une démonstration par récurrence comporte une initialisation au premier rang, une hérédité fondée sur l’hypothèse de récurrence, puis une conclusion valable pour tout entier naturel.

Compléments

• L’initialisation de la somme géométrique au rang 0 repose sur $q^0=1$ et $\frac{1-q^{0+1}}{1-q}=1$.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 6. Applications du raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

• Pour la suite définie par $U_0=3$ et $U_{n+1}=2U_n-4$, l’initialisation donne $U_0=3<4$ et l’hérédité montre que $U_n<4$ implique $U_{n+1}<4$.

• Pour la suite définie par $V_0=3$ et $V_{n+1}=f(V_n)$ avec $f(x)=\frac{x-7}{x+3}$, on montre par récurrence que $-7<V_{n+1}<V_n$ en utilisant la croissance de f sur $]-3;+\infty[$.

Compléments

📐 Formule — Pour $f(x)=\frac{x-7}{x+3}$, on a $f'(x)=\frac{4}{(x+3)^2}>0$ sur $]-3;+\infty[$, donc f est croissante sur cet intervalle.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques