Fiche de révision : Suites et suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Notion de suite numérique
2. Définition explicite et récurrente
3. Suite arithmétique
4. Variations des suites
5. Sommes et nombre de termes

📖 1. Notion de suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste de nombres notée $(u_n)$, où n est le rang ou l'indice et u_n le terme de rang n.

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par $u_n=2n+3$, les trois premiers termes sont $u_0=3$, $u_1=5$ et $u_2=7$.

📖 2. Définition explicite et récurrente

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite explicite : Lorsque le terme u_n est directement donné en fonction de n.
• Suite récurrente : Lorsqu'un premier terme et une formule permettent de calculer le terme suivant.

📝 Points essentiels

• Pour la suite $u_n=4n+2$, le terme de rang 5 vaut $u_5=4\times5+2=22$.

• Avec $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n+4$, on obtient $u_1=7$, $u_2=11$ et $u_3=15$.

💡 Astuce mémo

Explicite : on connaît directement u_n ; récurrente : on calcule le terme suivant.

📖 3. Suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Lorsqu'on ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant, ce nombre étant appelé la raison r.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$.

📐 Formule — La raison d'une suite arithmétique se calcule par $r=u_{n+1}-u_n$.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, si u_0 est connu, alors $u_n=u_0+nr$.

Compléments

• Dans la suite $5{,}8{,}11{,}14{,}17$, chaque différence entre deux termes consécutifs vaut 3, donc la raison est $r=3$.

• Avec $u_0=5$ et $r=3$, la formule explicite est $u_n=5+3n$ et donne $u_{10}=35$.

💡 Astuce mémo

Même raison ajoutée à chaque étape → suite arithmétique.

📖 4. Variations des suites

📝 Points essentiels

📌 Pour une suite arithmétique, r>0 implique qu'elle est croissante, r<0 qu'elle est décroissante et r=0 qu'elle est constante.

• Pour étudier les variations d'une suite, on calcule $u_{n+1}-u_n$, puis on compare cette différence à zéro.

💡 Astuce mémo

Différence positive : croissante ; négative : décroissante ; nulle : constante.

📖 5. Sommes et nombre de termes

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme des termes d'une suite arithmétique vaut $S=\frac{\text{nombre de termes}\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})}{2}$.

📐 Formule — La somme des termes de u_0 à u_n vaut $S=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$, car il y a n+1 termes entre u_0 et u_n.

• Le nombre de termes compris de u_p à u_n est $n-p+1$.

Compléments

• De u_3 à u_{10}, le nombre de termes est $10-3+1=8$.

• Pour $u_0=2$ et $r=3$, la somme $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=2+5+8+11+14$ vaut $S=40$.

💡 Astuce mémo

Compter les termes, additionner le premier et le dernier, puis diviser par 2.

📊 Tableaux de synthèse

Formules essentielles des suites arithmétiques