Fiche de révision : Suites géométriques

📋 Plan du Cours

1. Modélisation des évolutions multiplicatives
2. Raison et définition
3. Calcul des termes
4. Variation et représentation graphique
5. Somme des termes

📖 1. Modélisation des évolutions multiplicatives

★ À maîtriser

• Une diminution annuelle de 10 % des émissions de dioxyde de soufre se modélise par une multiplication annuelle par 0,9.

• Pour une émission initiale de 1 500 kg de dioxyde de soufre, la réduction de moitié est atteinte lorsque la quantité devient inférieure ou égale à 750 kg, soit après 7 années de diminutions successives de 10 %.

Compléments

• Si une population bactérienne double toutes les 20 minutes et vaut initialement 1, elle vaut 2 après 20 minutes, 4 après 40 minutes et 8 après 60 minutes.

💡 Astuce mémo

Baisse ou hausse en pourcentage → multiplication répétée

📖 2. Raison et définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Lorsque chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre constant appelé raison q.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une suite géométrique, la relation de récurrence est $u_{n+1}=u_n\times q$.

📐 Formule — La raison d'une suite géométrique se calcule par le quotient de deux termes consécutifs : $q=\frac{u_n}{u_{n-1}}$.

Compléments

• Pour deux termes consécutifs u15=125 et u16=93,75, la raison est $q=\frac{93{,}75}{125}=0{,}75$.

💡 Astuce mémo

q>1 augmente, tandis que 0<q<1 diminue

📖 3. Calcul des termes

★ À maîtriser

📐 Formule — Le terme de rang n d'une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q est $u_n=u_1\times q^{n-1}$.

• Une production initiale de 2 000 pièces augmentant de 20 % par an suit la relation $u_{n+1}=u_n\times1{,}2$.

Compléments

• Pour cette production, les trois premiers termes sont u1=2 000, u2=2 400 et u3=2 880 pièces.

• La production de la quatrième année vaut u4=3 456 pièces et la production cumulée des quatre premières années vaut 10 736 pièces.

💡 Astuce mémo

u₁ → u₂ → u₃ → … → uₙ

📖 4. Variation et représentation graphique

★ À maîtriser

📌 Pour une suite géométrique de raison strictement positive, la suite est croissante si q>1 et décroissante si 0<q<1.

• La représentation graphique d'une suite géométrique s'obtient avec le nuage de points de coordonnées (n;un).

Compléments

• Pour la suite bactérienne de raison 2, le nombre de bactéries au bout de 2 heures correspond au terme de rang 7 et vaut 64 bactéries.

💡 Astuce mémo

q>1 : courbe croissante ; 0<q<1 : courbe décroissante

📖 5. Somme des termes

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q, avec q≠1, est $S_n=u_1\times\frac{1-q^n}{1-q}$.

📐 Formule — La somme des quatre premiers termes de la suite de production est $S_4=2000+2400+2880+3456=10736$ pièces.

Compléments

• Pour calculer une somme géométrique, on identifie le premier terme, la raison et le nombre de termes, puis on applique la formule de somme et on effectue le calcul.

📊 Tableaux de synthèse

Effet de la raison sur la suite