QCM : Suites géométriques — 11 questions

Question 1

1. Une quantité d’émissions diminue de 10 % chaque année. Par quel nombre faut-il la multiplier d’une année à l’autre pour modéliser cette évolution ?

1,1

0,99

0,9

0,1

Explication

Une diminution de 10 % conserve 90 % de la quantité précédente, donc le facteur multiplicatif est $1-0,10=0,9$ . Le facteur $0,1$ représente la part diminuée, et non la part restante.

Answer

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante

Answer

$$u_{n+1}=u_n\times q$$

Answer

$$u_n=u_1\times q^{n-1}$$

Answer

$$u_{n+1}=u_n\times1,2$$

Answer

Lorsque la raison vérifie $$0<q<1$$

Answer

Par un nuage de points de coordonnées $$(n;u_n)$$

Answer

$$S_n=u_1\times\frac{1-q^n}{1-q}$$

Answer

10736 pièces

Question 2

2. Des émissions initiales de 1 500 kg diminuent de 10 % chaque année. Après combien d’années la quantité devient-elle inférieure ou égale à 750 kg ?

7 années

5 années

10 années

8 années

Explication

La réduction de moitié est atteinte après 7 diminutions successives de 10 %, lorsque la quantité devient inférieure ou égale à 750 kg. Cinq années ne suffisent pas à atteindre ce seuil dans ce modèle.

Question 3

3. Quelle propriété caractérise une suite géométrique ?

Chaque terme est égal au carré du terme précédent

Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante

Chaque terme est obtenu en divisant le précédent par son rang

Chaque terme s’obtient en ajoutant une constante au précédent

Explication

Une suite géométrique est définie par une multiplication par un même nombre constant, appelé raison. L’ajout d’une constante caractérise plutôt une suite arithmétique.

Question 4

4. Quelle relation de récurrence permet de calculer le terme suivant d’une suite géométrique de raison $q$ ?

u_{n+1}=u_n\times q

u_{n+1}=q^n\times u_{n-1}

u_{n+1}=u_n+q

u_{n+1}=\frac{u_n}{n+q}

Explication

Dans une suite géométrique, le terme suivant est obtenu en multipliant le terme courant par la raison, d’où $u_{n+1}=u_n\times q$ . L’expression $u_n+q$ correspondrait à une progression par addition constante.

Question 5

5. Deux termes consécutifs d’une suite géométrique vérifient $u_{n-1}=125$ et $u_n=93,75$ . Quelle est la raison de la suite ?

0,75

1,25

31,25

218,75

Explication

La raison se calcule en divisant le terme suivant par le terme précédent : $q=\frac{93,75}{125}=0,75$ . Le quotient inverse, $1,25$ , ne respecte pas l’ordre des termes indiqué.

Question 6

6. Une suite géométrique a pour premier terme $u_1$ et pour raison $q$ . Quelle expression donne son terme de rang $n$ ?

u_n=u_1\times q^n

u_n=u_1\times q^{n-1}

u_n=u_1+n\times q

u_n=u_1\times(n-1)^q

Explication

Le terme de rang $n$ s’obtient en appliquant $n-1$ multiplications par la raison, donc $u_n=u_1\times q^{n-1}$ . L’exposant $n$ donnerait une formule décalée, notamment pour le premier terme.

Question 7

7. Une production initiale de 2 000 pièces augmente de 20 % par an. Quelle relation permet de calculer la production de l’année suivante à partir de celle de l’année en cours ?

u_{n+1}=u_n\times1,2

u_{n+1}=u_n\times1,02

u_{n+1}=u_n+20

u_{n+1}=u_n\times0,2

Explication

Une augmentation de 20 % correspond à une multiplication par $1+0,20=1,2$ , donc $u_{n+1}=u_n\times1,2$ . Le facteur $0,2$ représente l’augmentation seule, tandis que $1,02$ correspondrait à une hausse de 2 %.

Question 8

8. Pour une suite géométrique de raison strictement positive, dans quel cas la suite est-elle décroissante ?

Lorsque la raison vérifie

q>1

Lorsque la raison vérifie

0<q<1

Lorsque la raison vérifie

q=1

Lorsque la raison vérifie

q<0

Explication

Une raison comprise entre 0 et 1 réduit chaque terme par rapport au précédent, ce qui rend la suite décroissante. Une raison supérieure à 1 produit au contraire une suite croissante.

Question 9

9. Comment représente-t-on graphiquement une suite géométrique de termes $u_n$ ?

Par un nuage de points de coordonnées

(n;u_n)

Par une courbe continue reliant les valeurs de la suite

Par une droite passant par les points

(u_n;n)

Par un nuage de points de coordonnées

(n;q^n)

Explication

Chaque terme est associé au rang correspondant, ce qui donne les points de coordonnées $(n;u_n)$ . Une courbe continue ou l’échange des coordonnées ne représente pas directement les termes de la suite.

Question 10

10. Quelle expression donne la somme des $n$ premiers termes d’une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q\neq1$ ?

S_n=n\times u_1\times q

S_n=u_1\times\frac{1-q^n}{1-q}

S_n=u_1\times q^{n-1}

S_n=u_1\times\frac{1-q^{n-1}}{1-q}

Explication

La somme cumulée des $n$ premiers termes est donnée par $S_n=u_1\times\frac{1-q^n}{1-q}$ lorsque $q\neq1$ . L’expression $u_1\times q^{n-1}$ correspond à un seul terme, celui de rang $n$ .

Question 11

11. Quelle est la valeur de la somme des quatre premiers termes de la suite de production, égaux à 2000, 2400, 2880 et 3456 pièces ?

9720 pièces

10736 pièces

10736 pièces par terme

3456 pièces

Explication

La somme s’obtient en additionnant les quatre productions : $2000+2400+2880+3456=10736$ pièces. La valeur 3456 correspond à la quatrième production, c’est-à-dire à $u_4$ , et non à la somme $S_4$ .

QCM : Suites géométriques — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Une quantité d’émissions diminue de 10 % chaque année. Par quel nombre faut-il la multiplier d’une année à l’autre pour modéliser cette évolution ?

2. Des émissions initiales de 1 500 kg diminuent de 10 % chaque année. Après combien d’années la quantité devient-elle inférieure ou égale à 750 kg ?

3. Quelle propriété caractérise une suite géométrique ?

4. Quelle relation de récurrence permet de calculer le terme suivant d’une suite géométrique de raison $q$ ?

5. Deux termes consécutifs d’une suite géométrique vérifient $u_{n-1}=125$ et $u_n=93,75$ . Quelle est la raison de la suite ?

6. Une suite géométrique a pour premier terme $u_1$ et pour raison $q$ . Quelle expression donne son terme de rang $n$ ?

7. Une production initiale de 2 000 pièces augmente de 20 % par an. Quelle relation permet de calculer la production de l’année suivante à partir de celle de l’année en cours ?

8. Pour une suite géométrique de raison strictement positive, dans quel cas la suite est-elle décroissante ?

9. Comment représente-t-on graphiquement une suite géométrique de termes $u_n$ ?

10. Quelle expression donne la somme des $n$ premiers termes d’une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q\neq1$ ?

11. Quelle est la valeur de la somme des quatre premiers termes de la suite de production, égaux à 2000, 2400, 2880 et 3456 pièces ?

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QCM : Suites géométriques — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Une quantité d’émissions diminue de 10 % chaque année. Par quel nombre faut-il la multiplier d’une année à l’autre pour modéliser cette évolution ?

2. Des émissions initiales de 1 500 kg diminuent de 10 % chaque année. Après combien d’années la quantité devient-elle inférieure ou égale à 750 kg ?

3. Quelle propriété caractérise une suite géométrique ?

4. Quelle relation de récurrence permet de calculer le terme suivant d’une suite géométrique de raison qqq ?

5. Deux termes consécutifs d’une suite géométrique vérifient un−1=125u_{n-1}=125un−1​=125 et un=93,75u_n=93,75un​=93,75. Quelle est la raison de la suite ?

6. Une suite géométrique a pour premier terme u1u_1u1​ et pour raison qqq. Quelle expression donne son terme de rang nnn ?

7. Une production initiale de 2 000 pièces augmente de 20 % par an. Quelle relation permet de calculer la production de l’année suivante à partir de celle de l’année en cours ?

8. Pour une suite géométrique de raison strictement positive, dans quel cas la suite est-elle décroissante ?

9. Comment représente-t-on graphiquement une suite géométrique de termes unu_nun​ ?

10. Quelle expression donne la somme des nnn premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u1u_1u1​ et de raison q≠1q\neq1q=1 ?

11. Quelle est la valeur de la somme des quatre premiers termes de la suite de production, égaux à 2000, 2400, 2880 et 3456 pièces ?

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4. Quelle relation de récurrence permet de calculer le terme suivant d’une suite géométrique de raison $q$ ?

5. Deux termes consécutifs d’une suite géométrique vérifient $u_{n-1}=125$ et $u_n=93,75$ . Quelle est la raison de la suite ?

6. Une suite géométrique a pour premier terme $u_1$ et pour raison $q$ . Quelle expression donne son terme de rang $n$ ?

9. Comment représente-t-on graphiquement une suite géométrique de termes $u_n$ ?

10. Quelle expression donne la somme des $n$ premiers termes d’une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q\neq1$ ?