Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et modes de génération
2. Suites majorées minorées et bornées
3. Monotonie des suites
4. Suites arithmétiques
5. Sommes arithmétiques
6. Suites géométriques
7. Sommes géométriques
8. Modélisations par suites
9. Suites récurrentes et transformations
10. Suite de Fibonacci

📖 1. Définition et modes de génération

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Application d’une partie de ℕ vers ℝ qui associe à chaque indice n un terme noté u_n.
• Suite récurrente : Définie par son ou ses premiers termes et une relation entre deux ou plusieurs termes consécutifs.

📝 Points essentiels

📌 Une suite explicite donne directement u_n en fonction de n, tandis qu’une suite récurrente donne un ou plusieurs premiers termes et une relation entre des termes consécutifs.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : directement ; formule récurrente : terme après terme

📖 2. Suites majorées minorées et bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : S’il existe un réel M tel que u_n ≤ M pour tout indice n de son domaine.
• Suite bornée : À la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

• Pour u_n = 1 + 1/(2n+1), on obtient 1 < u_n ≤ 2, donc la suite est bornée, majorée par 2 et minorée par 1.

💡 Astuce mémo

Majorée par M au-dessus, minorée par m au-dessous

📖 3. Monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Si, pour tous indices n et m tels que n ≤ m, on a u_n ≤ u_m.
• Suite décroissante : Si, pour tous indices n et m tels que n ≤ m, on a u_n ≥ u_m.

📝 Points essentiels

📌 Une suite est croissante si et seulement si u_{n+1} − u_n ≥ 0 pour tout n, et elle est décroissante si et seulement si u_{n+1} − u_n ≤ 0 pour tout n.

💡 Astuce mémo

Comparer deux termes consécutifs, conclure sur tout l’ordre

📖 4. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Définie par u_{n+1}=u_n+r, où r est un réel fixe appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r, $u_n=u_p+(n-p)r$.

Compléments

📌 Trois termes consécutifs u_n, u_{n+1}, u_{n+2} forment une suite arithmétique si et seulement si 2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}.

💡 Astuce mémo

AR : Ajouter une Raison constante

📖 5. Sommes arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme des termes d’une suite arithmétique de u_p à u_n est $S=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}$.

Compléments

• Pour la suite des entiers de 1 à n, $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

📖 6. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Définie par u_{n+1}=qu_n, où q est un réel fixe appelé raison.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q, $u_n=q^{n-p}u_p$.

Compléments

📌 Trois nombres a, b et c sont des termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si b^2=ac.

💡 Astuce mémo

GÉO : Grandir par un Écart multiplicatif constant

📖 7. Sommes géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme de n−p+1 termes d’une suite géométrique de raison q≠1 est $S=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.

📐 Formule — Lorsque q=1, la somme des termes de u_p à u_n est $S=(n-p+1)u_p$.

Compléments

• En doublant chaque jour pendant 20 jours à partir d’un centime, la somme obtenue est 1 048 575 centimes, soit environ 10 485,75 dirhams.

💡 Astuce mémo

Multiplier par q puis soustraire entraîne la formule de somme

📖 8. Modélisations par suites

★ À maîtriser

📌 Une augmentation fixe chaque mois produit une suite arithmétique, tandis qu’une augmentation de 3 % chaque mois produit une suite géométrique de raison 1,03.

📐 Formule — Pour une population diminuant de 20 % chaque année, l’effectif est multiplié chaque année par 0,8, donc $u_{n+1}=0{,}8u_n$.

Compléments

📐 Formule — Pour un club de 200 membres dont 5 % partent chaque mois et qui accueille 5 nouveaux membres, la relation est $u_{n+1}=0{,}95u_n+5$.

💡 Astuce mémo

Hausse fixe : arithmétique ; hausse proportionnelle : géométrique

📖 9. Suites récurrentes et transformations

★ À maîtriser

• Pour étudier une suite récurrente, on calcule d’abord les premiers termes, puis on utilise la relation de récurrence pour établir une propriété par récurrence.

Compléments

• La suite définie par u_{n+1}=2u_n+1 et u_0=0 vérifie u_1=1, u_2=3 et u_3=7.

• Une suite récurrente peut être transformée en suite arithmétique ou géométrique en définissant une nouvelle suite adaptée, puis en exprimant le terme suivant à partir du précédent.

💡 Astuce mémo

Transformer la suite pour obtenir une suite arithmétique ou géométrique

📖 10. Suite de Fibonacci

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de Fibonacci : Leonardo Fibonacci, 1175-1240 — La suite de Fibonacci est définie par u_0=0, u_1=1 et u_{n+2}=u_{n+1}+u_n pour tout n entier naturel.

★ À maîtriser

📌 La suite de Fibonacci n’est ni arithmétique ni géométrique, car ses différences et ses rapports entre termes consécutifs ne sont pas constants.

Compléments

• Les premiers termes de la suite de Fibonacci sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et 21.

💡 Astuce mémo

0, 1, puis chaque terme est la somme des deux précédents

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques