QCM : Suites numériques — 22 questions

Question 1

1. Quelle description définit correctement une suite numérique ?

Une application d’une partie de ℕ vers ℝ associant un réel à chaque indice n

Un ensemble de réels sans correspondance avec des indices entiers

Une fonction de ℝ vers ℕ associant un indice à chaque nombre réel

Une relation entre deux réels consécutifs sans domaine d’indices

Explication

Une suite numérique associe à chaque indice appartenant à une partie de ℕ un terme réel noté u_n. Une fonction de ℝ vers ℕ inverse les rôles du domaine et des valeurs, ce qui ne correspond pas à cette définition.

Answer

Une application d’une partie de ℕ vers ℝ associant un réel à chaque indice n

Question 2

2. Quelle distinction caractérise une suite explicite par rapport à une suite récurrente ?

Elle exprime directement u_n en fonction de n

Elle donne une borne commune pour tous les termes de la suite

Elle fournit des premiers termes et une relation entre termes consécutifs

Elle compare chaque terme aux termes d’indices précédents

Explication

Une suite explicite permet de calculer directement u_n à partir de n. La description fondée sur des premiers termes et une relation entre termes consécutifs correspond à une suite récurrente.

Answer

Elle exprime directement u_n en fonction de n

Question 3

3. Pour calculer successivement les termes d’une suite récurrente, quelles informations faut-il connaître ?

Une formule donnant directement chaque terme en fonction de son indice

Le signe de la différence entre deux termes d’indices quelconques

Un ou plusieurs premiers termes et une relation entre des termes consécutifs

Une borne supérieure et une borne inférieure valables pour la suite

Explication

Une suite récurrente est déterminée par ses premiers termes et une relation permettant de passer à des termes consécutifs. Une formule directe en fonction de n caractérise plutôt une suite explicite.

Answer

Un ou plusieurs premiers termes et une relation entre des termes consécutifs

Question 4

4. Quelle condition suffit pour qu’une suite soit majorée ?

Chaque terme est inférieur au terme d’indice immédiatement précédent

Il existe un réel M tel qu'u_n ≤ M pour tout indice de son domaine

Chaque terme est supérieur au terme d’indice immédiatement précédent

Il existe un réel m tel qu'u_n ≥ m pour tout indice de son domaine

Explication

Une suite est majorée lorsqu’un même réel M est supérieur ou égal à chacun de ses termes. L’existence d’un réel m inférieur à tous les termes définit une suite minorée, et non majorée.

Answer

Il existe un réel M tel qu'u_n ≤ M pour tout indice de son domaine

Question 5

5. Dans quelles conditions une suite est-elle bornée ?

Lorsqu’elle est croissante et possède un premier terme

Lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée

Lorsqu’elle est décroissante et possède un dernier terme

Lorsqu’elle contient des termes positifs et des termes négatifs

Explication

Une suite est bornée si un réel la majore et si un autre réel la minore. La monotonie ou la présence de signes différents ne suffit pas à établir cette propriété.

Answer

Lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée

Question 6

6. Quelle inégalité caractérise une suite croissante à l’aide de deux indices ?

Pour n ≤ m, on a u_n = u_m

Pour n ≤ m, on a u_n + u_m ≤ 0

Pour n ≤ m, on a u_n ≤ u_m

Pour n ≤ m, on a u_n ≥ u_m

Explication

Une suite croissante conserve l’ordre des indices : lorsque n ≤ m, le terme u_n est inférieur ou égal à u_m. L’inégalité inversée caractérise une suite décroissante.

Answer

Pour n ≤ m, on a u_n ≤ u_m

Question 7

7. Une suite vérifie u_2 = 7, u_3 = 5 et u_4 = 5. Quelle conclusion peut-on tirer de ces valeurs concernant son évolution entre ces indices ?

Elle diminue puis reste constante

Elle reste constante puis augmente

Elle reste constante puis diminue

Elle augmente puis reste constante

Explication

Le passage de 7 à 5 traduit une diminution, puis l’égalité entre 5 et 5 traduit une constance. Ces valeurs illustrent donc une évolution décroissante au sens large sur les indices considérés.

Answer

Elle diminue puis reste constante

Question 8

8. Pour montrer qu’une suite est croissante à l’aide de deux termes consécutifs, quelle condition faut-il vérifier pour tout n ?

u_{n+1}

− u_n ≤ 0

u_{n+1}

− u_n ≥ 0

u_{n+1}u_n

≤ 0

u_{n+1} + u_n

≥ 0

Explication

La différence entre deux termes consécutifs doit être positive ou nulle pour tout n, ce qui équivaut à $u_{n+1}$ ≥ u_n. Une différence négative ou nulle caractérise au contraire une suite décroissante.

Answer

$$u_{n+1}$$ − u_n ≥ 0

Question 9

9. Quelle relation définit une suite arithmétique de raison $r$ ?

u_{n+1}=u_n^r

u_{n+1}=u_n-rn

u_{n+1}=u_n+r

u_{n+1}=r u_n

Explication

Une suite arithmétique s’obtient en ajoutant la même constante réelle $r$ au terme précédent. La relation multiplicative avec $r$ caractérise une suite géométrique, et non une suite arithmétique.

Answer

$$u_{n+1}=u_n+r$$

Question 10

10. Une suite arithmétique vérifie $u_4=7$ et a pour raison $r=3$ . Quelle est la valeur de $u_9$ ?

12

22

28

19

Explication

Entre les indices $4$ et $9$ , il y a $9-4=5$ pas, donc $u_9=u_4+(9-4)r=7+5\times3=22$ . Utiliser $9$ comme nombre de pas confondrait l’indice final avec l’écart entre les indices.

Answer

$$(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}$$

Answer

$$u_{n+1}=q u_n$$

Answer

$$S=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$$

Answer

En multipliant $$7$$ par $$n-p+1$$

Answer

Une suite arithmétique puis une suite géométrique de raison $$1,03$$

Answer

$$u_{n+1}=0,8u_n$$

Answer

Calculer quelques premiers termes, puis vérifier l’initialisation et l’hérédité

Answer

$$1,\ 3,\ 7$$

Answer

$$u_0=0$$, $$u_1=1$$ et $$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$$

Answer

Ses différences et ses rapports entre termes consécutifs ne sont pas constants.

Question 11

11. Quelle expression donne la somme des termes d’une suite arithmétique allant de $u_p$ à $u_n$ ?

(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}

(n+p+1)\frac{u_p-u_n}{2}

(n-p)\frac{u_p+u_n}{2}

(n-p+1)(u_p+u_n)

Explication

La somme est le nombre de termes, $n-p+1$ , multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme, $\frac{u_p+u_n}{2}$ . Le facteur $n-p$ oublierait le terme correspondant à l’indice $p$ .

Question 12

12. Quelle somme obtient-on pour $1+2+\cdots+50$ ?

1325

1250

1275

2550

Explication

La formule des entiers consécutifs donne $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ , donc pour $n=50$ , $\frac{50\times51}{2}=1275$ . Le résultat $1250$ correspondrait à une multiplication incomplète et ne tient pas compte de l’augmentation des termes.

Question 13

13. Quelle relation définit une suite géométrique de raison $q$ ?

u_{n+1}=q u_n

u_{n+1}=u_n+q

u_{n+1}=u_n-qn

u_{n+1}=u_n^q

Explication

Une suite géométrique est obtenue en multipliant chaque terme par la même constante $q$ . L’ajout constant de $q$ définit une suite arithmétique, et non une suite géométrique.

Question 14

14. Une suite géométrique vérifie $u_2=5$ et a pour raison $q=2$ . Quelle est la valeur de $u_6$ ?

20

40

160

80

Explication

L’écart d’indices vaut $6-2=4$ , donc $u_6=q^{6-2}u_2=2^4\times5=80$ . Utiliser trois multiplications reviendrait à sous-estimer le nombre de passages entre les indices $2$ et $6$ .

Question 15

15. Quelle formule donne la somme des termes de rang $p$ à $n$ d’une suite géométrique de raison $q\neq1$ ?

S=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}

S=u_p\frac{1-q^{n-p}}{1-q}

S=(n-p+1)u_p

S=u_p\frac{1-q^{n+p+1}}{1-q}

Explication

La somme comporte $n-p+1$ termes, ce qui donne l’exposant $n-p+1$ dans la formule géométrique lorsque $q\neq1$ . L’expression $S=(n-p+1)u_p$ correspond au cas particulier où la raison vaut $1$ .

Question 16

16. Une suite géométrique a une raison $q=1$ et son premier terme considéré vaut $u_p=7$ . Comment calculer la somme de ses termes de rang $p$ à $n$ ?

En multipliant

7

par

n-p+1

En multipliant

7

par

n-p

En ajoutant

1

à chaque terme jusqu’au rang

n

En calculant

7\frac{1-1^{n-p+1}}{1-1}

Explication

Lorsque $q=1$ , tous les termes sont égaux à $u_p$ , et il y en a $n-p+1$ . La formule faisant intervenir $1-q$ n’est pas utilisable, car elle conduirait à une division par zéro.

Question 17

17. Un salaire augmente de $75$ dirhams chaque mois, puis un autre salaire augmente de $3\%$ chaque mois. Quelles suites modélisent ces deux évolutions ?

Une suite arithmétique puis une suite géométrique de raison

1,03

Une suite géométrique puis une suite arithmétique de raison

1,03

Deux suites arithmétiques de raison

75

et

3

Deux suites géométriques de raisons

75

et

0,03

Explication

Ajouter une somme fixe de $75$ dirhams correspond à une suite arithmétique, tandis qu’augmenter de $3\%$ revient à multiplier chaque terme par $1,03$ . Une variation en pourcentage est donc proportionnelle au terme précédent.

Question 18

18. Une population diminue de $20\%$ chaque année et compte $u_n$ individus à l’année $n$ . Quelle relation de récurrence convient ?

u_{n+1}=u_n-20

u_{n+1}=u_n-0,2

u_{n+1}=1,2u_n

u_{n+1}=0,8u_n

Explication

Après une diminution de $20\%$ , il reste $80\%$ de la population, soit un facteur multiplicatif de $0,8$ . Soustraire $20$ ou $0,2$ correspondrait à une diminution fixe et non proportionnelle.

Question 19

19. Quelle démarche permet d’étudier correctement une propriété d’une suite définie par récurrence ?

Calculer le dernier terme, puis remplacer la récurrence par une addition fixe

Déterminer une formule explicite, puis comparer deux termes consécutifs

Calculer quelques premiers termes, puis vérifier l’initialisation et l’hérédité

Commencer par l’hérédité, puis choisir ensuite l’indice initial

Explication

Les premiers termes aident à comprendre la suite, puis une preuve par récurrence exige une initialisation et une hérédité. L’initialisation porte sur le premier indice étudié, tandis que l’hérédité établit le passage de $n$ à $n+1$ .

Question 20

20. Pour la suite définie par $u_{n+1}=2u_n+1$ et $u_0=0$ , quelles sont les valeurs de $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ ?

0,\ 1,\ 3

1,\ 3,\ 7

1,\ 2,\ 4

2,\ 5,\ 11

Explication

En appliquant successivement la relation, on obtient $u_1=2\times0+1=1$ , puis $u_2=2\times1+1=3$ et $u_3=2\times3+1=7$ . La valeur initiale $u_0$ ne constitue pas le premier terme calculé après application de la relation.

Question 21

21. Quelle relation de récurrence définit la suite de Fibonacci avec ses deux premiers termes ?

u_0=1

,

u_1=0

et

u_{n+2}=u_{n+1}+u_n

u_0=1

,

u_1=1

et

u_{n+2}=u_{n+1}-u_n

u_0=0

,

u_1=1

et

u_{n+2}=u_{n+1}\times u_n

u_0=0

,

u_1=1

et

u_{n+2}=u_{n+1}+u_n

Explication

La suite de Fibonacci commence par $u_0=0$ et $u_1=1$ , puis chaque terme est la somme des deux précédents. La relation multiplicative proposée ne correspond pas à cette définition, tandis que les autres choix modifient les conditions initiales ou le signe de l’opération.

Question 22

22. Pourquoi la suite de Fibonacci n’est-elle ni arithmétique ni géométrique ?

Ses termes alternent régulièrement entre valeurs positives et négatives.

Ses termes deviennent progressivement plus petits après chaque addition.

Ses différences et ses rapports entre termes consécutifs ne sont pas constants.

Elle possède deux termes initiaux égaux avant de poursuivre sa construction.

Explication

Une suite arithmétique a des différences constantes et une suite géométrique a des rapports constants ; la suite de Fibonacci ne vérifie aucune de ces deux propriétés. L’égalité de certains termes initiaux ne suffit pas à déterminer la nature arithmétique ou géométrique d’une suite.

QCM : Suites numériques — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description définit correctement une suite numérique ?

2. Quelle distinction caractérise une suite explicite par rapport à une suite récurrente ?

3. Pour calculer successivement les termes d’une suite récurrente, quelles informations faut-il connaître ?

4. Quelle condition suffit pour qu’une suite soit majorée ?

5. Dans quelles conditions une suite est-elle bornée ?

6. Quelle inégalité caractérise une suite croissante à l’aide de deux indices ?

7. Une suite vérifie u_2 = 7, u_3 = 5 et u_4 = 5. Quelle conclusion peut-on tirer de ces valeurs concernant son évolution entre ces indices ?

8. Pour montrer qu’une suite est croissante à l’aide de deux termes consécutifs, quelle condition faut-il vérifier pour tout n ?

9. Quelle relation définit une suite arithmétique de raison $r$ ?

10. Une suite arithmétique vérifie $u_4=7$ et a pour raison $r=3$ . Quelle est la valeur de $u_9$ ?

11. Quelle expression donne la somme des termes d’une suite arithmétique allant de $u_p$ à $u_n$ ?

12. Quelle somme obtient-on pour $1+2+\cdots+50$ ?

13. Quelle relation définit une suite géométrique de raison $q$ ?

14. Une suite géométrique vérifie $u_2=5$ et a pour raison $q=2$ . Quelle est la valeur de $u_6$ ?

15. Quelle formule donne la somme des termes de rang $p$ à $n$ d’une suite géométrique de raison $q\neq1$ ?

16. Une suite géométrique a une raison $q=1$ et son premier terme considéré vaut $u_p=7$ . Comment calculer la somme de ses termes de rang $p$ à $n$ ?

17. Un salaire augmente de $75$ dirhams chaque mois, puis un autre salaire augmente de $3\%$ chaque mois. Quelles suites modélisent ces deux évolutions ?

18. Une population diminue de $20\%$ chaque année et compte $u_n$ individus à l’année $n$ . Quelle relation de récurrence convient ?

19. Quelle démarche permet d’étudier correctement une propriété d’une suite définie par récurrence ?

20. Pour la suite définie par $u_{n+1}=2u_n+1$ et $u_0=0$ , quelles sont les valeurs de $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ ?

21. Quelle relation de récurrence définit la suite de Fibonacci avec ses deux premiers termes ?

22. Pourquoi la suite de Fibonacci n’est-elle ni arithmétique ni géométrique ?

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QCM : Suites numériques — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description définit correctement une suite numérique ?

2. Quelle distinction caractérise une suite explicite par rapport à une suite récurrente ?

3. Pour calculer successivement les termes d’une suite récurrente, quelles informations faut-il connaître ?

4. Quelle condition suffit pour qu’une suite soit majorée ?

5. Dans quelles conditions une suite est-elle bornée ?

6. Quelle inégalité caractérise une suite croissante à l’aide de deux indices ?

7. Une suite vérifie u_2 = 7, u_3 = 5 et u_4 = 5. Quelle conclusion peut-on tirer de ces valeurs concernant son évolution entre ces indices ?

8. Pour montrer qu’une suite est croissante à l’aide de deux termes consécutifs, quelle condition faut-il vérifier pour tout n ?

9. Quelle relation définit une suite arithmétique de raison rrr ?

10. Une suite arithmétique vérifie u4=7u_4=7u4​=7 et a pour raison r=3r=3r=3. Quelle est la valeur de u9u_9u9​ ?

11. Quelle expression donne la somme des termes d’une suite arithmétique allant de upu_pup​ à unu_nun​ ?

12. Quelle somme obtient-on pour 1+2+⋯+501+2+\cdots+501+2+⋯+50 ?

13. Quelle relation définit une suite géométrique de raison qqq ?

14. Une suite géométrique vérifie u2=5u_2=5u2​=5 et a pour raison q=2q=2q=2. Quelle est la valeur de u6u_6u6​ ?

15. Quelle formule donne la somme des termes de rang ppp à nnn d’une suite géométrique de raison q≠1q\neq1q=1 ?

16. Une suite géométrique a une raison q=1q=1q=1 et son premier terme considéré vaut up=7u_p=7up​=7. Comment calculer la somme de ses termes de rang ppp à nnn ?

17. Un salaire augmente de 757575 dirhams chaque mois, puis un autre salaire augmente de 3%3\%3% chaque mois. Quelles suites modélisent ces deux évolutions ?

18. Une population diminue de 20%20\%20% chaque année et compte unu_nun​ individus à l’année nnn. Quelle relation de récurrence convient ?

19. Quelle démarche permet d’étudier correctement une propriété d’une suite définie par récurrence ?

20. Pour la suite définie par un+1=2un+1u_{n+1}=2u_n+1un+1​=2un​+1 et u0=0u_0=0u0​=0, quelles sont les valeurs de u1u_1u1​, u2u_2u2​ et u3u_3u3​ ?

21. Quelle relation de récurrence définit la suite de Fibonacci avec ses deux premiers termes ?

22. Pourquoi la suite de Fibonacci n’est-elle ni arithmétique ni géométrique ?

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9. Quelle relation définit une suite arithmétique de raison $r$ ?

10. Une suite arithmétique vérifie $u_4=7$ et a pour raison $r=3$ . Quelle est la valeur de $u_9$ ?

11. Quelle expression donne la somme des termes d’une suite arithmétique allant de $u_p$ à $u_n$ ?

12. Quelle somme obtient-on pour $1+2+\cdots+50$ ?

13. Quelle relation définit une suite géométrique de raison $q$ ?

14. Une suite géométrique vérifie $u_2=5$ et a pour raison $q=2$ . Quelle est la valeur de $u_6$ ?

15. Quelle formule donne la somme des termes de rang $p$ à $n$ d’une suite géométrique de raison $q\neq1$ ?

16. Une suite géométrique a une raison $q=1$ et son premier terme considéré vaut $u_p=7$ . Comment calculer la somme de ses termes de rang $p$ à $n$ ?

17. Un salaire augmente de $75$ dirhams chaque mois, puis un autre salaire augmente de $3\%$ chaque mois. Quelles suites modélisent ces deux évolutions ?

18. Une population diminue de $20\%$ chaque année et compte $u_n$ individus à l’année $n$ . Quelle relation de récurrence convient ?

20. Pour la suite définie par $u_{n+1}=2u_n+1$ et $u_0=0$ , quelles sont les valeurs de $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ ?