Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et modes de définition
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Sommes de suites
4. Suites arithmético-géométriques
5. Construction graphique et comportement
6. Nombres réels et borne supérieure
7. Convergence et divergence

📖 1. Définition et modes de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction de ℕ dans K dont le terme de rang n est noté u_n = u(n).

📝 Points essentiels

📌 Une suite est définie explicitement lorsqu'il existe une fonction f telle que u_n=f(n), tandis qu'elle est définie par récurrence lorsqu'il existe une fonction f telle que u_{n+1}=f(u_n).

💡 Astuce mémo

Explicite : n → terme ; récurrence : terme → terme suivant

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite réelle telle qu'il existe un réel r, appelé raison, avec u_{n+1}=u_n+r pour tout n∈ℕ.
• Suite géométrique : Suite réelle telle qu'il existe un réel q, appelé raison, avec u_{n+1}=u_nq pour tout n∈ℕ.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de raison r, le terme général est $u_n=u_0+nr$ pour tout n∈ℕ.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q, le terme général est $u_n=u_0q^n$ pour tout n∈ℕ.

Compléments

📐 Formule - Pour p≤n, une suite arithmétique et une suite géométrique vérifient respectivement $u_n=u_p+(n-p)r$ et $v_n=v_pq^{n-p}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q

📖 3. Sommes de suites

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, la somme de p à n vaut $\sum_{k=p}^{n}u_k=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison q≠1, la somme de p à n vaut $\sum_{k=p}^{n}v_k=v_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.

Compléments

• Le nombre de termes compris entre u_p et u_n inclus est n-p+1.

📖 4. Suites arithmético-géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Une suite réelle est arithmético-géométrique s'il existe deux réels q et r tels que u_{n+1}=qu_n+r pour tout n∈ℕ.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si q≠1, une suite arithmético-géométrique vérifie $u_n=q^n\left(u_0-\frac{r}{1-q}\right)+\frac{r}{1-q}$ pour tout n∈ℕ.

Compléments

• Pour expliciter une suite arithmético-géométrique, on cherche le point fixe l vérifiant l=ql+r, puis on pose v_n=u_n-l afin d'obtenir une suite géométrique de raison q.

💡 Astuce mémo

On soustrait le point fixe → la suite devient géométrique

📖 5. Construction graphique et comportement

★ À maîtriser

• Pour construire graphiquement une suite définie par u_{n+1}=f(u_n), on place u_0, on trace y=x et y=f(x), on construit u_1=f(u_0) puis on le ramène sur l'axe des abscisses par la bissectrice, avant de répéter la construction.

Compléments

• Dans l'exemple étudié, la suite (a_n) semble converger vers 6, tandis que la suite (b_n) semble diverger vers +∞.

💡 Astuce mémo

Courbe → bissectrice → nouvel antécédent → répétition

📖 6. Nombres réels et borne supérieure

🔑 Notions clés & Définitions

• Axiome de la borne supérieure : Toute partie non vide et majorée A de ℝ possède un plus petit majorant appelé sa borne supérieure et noté sup A.

★ À maîtriser

• Les ensembles usuels de nombres vérifient les inclusions ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ.

Compléments

• L'ensemble ℚ est l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire des fractions d'entiers relatifs, tandis que π, √2, e et √17 sont des nombres irrationnels.

• Les nombres réels peuvent être vus comme l'ensemble des rationnels et des limites de suites de rationnels.

💡 Astuce mémo

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

📖 7. Convergence et divergence

📝 Points essentiels

📌 Une suite converge lorsqu'elle tend vers une limite réelle finie, tandis qu'elle diverge lorsqu'elle tend notamment vers +∞.

💡 Astuce mémo

Converger vers une limite ≠ diverger vers +∞

📊 Tableaux de synthèse

Types de suites usuelles