Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et terme de rang
2. Génération explicite ou récurrente
3. Représentation graphique des suites
4. Sens de variation d’une suite
5. Étude des variations par fonction
6. Limites et convergence des suites

📖 1. Définition et terme de rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels qui associe à chaque entier n un nombre réel noté u_n.

📝 Points essentiels

• Le terme de rang n d’une suite numérique est noté u_n.

📖 2. Génération explicite ou récurrente

★ À maîtriser

📌 Dans une suite définie par une formule explicite, chaque terme dépend directement de n et indépendamment des termes précédents, tandis que dans une suite définie par récurrence, chaque terme est obtenu à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

Compléments

• La formule $u_n=2n$ définit la suite des entiers pairs, dont les premiers termes sont 0, 2, 4 et 6.

• La formule $v_n=3n^2-1$ donne les quatre premiers termes -1, 2, 11 et 26.

• La suite de premier terme u_0=5 définie par u_{n+1}=3u_n commence par 5, 15 et 45.

• La suite définie par v_0=3 et v_{n+1}=4v_n-6 commence par 3, 6, 18 et 66.

• Pour calculer v_{13} avec la récurrence v_{n+1}=4v_n-6, il faut connaître les termes précédents jusqu’à v_{12}.

💡 Astuce mémo

Explicite : chaque rang se calcule directement ; récurrente : chaque terme s’appuie sur le précédent.

📖 3. Représentation graphique des suites

★ À maîtriser

• Dans un repère du plan, une suite est représentée par le nuage de points de coordonnées (n ; u_n).

Compléments

• Pour $u_n=\frac{n^2}{2}-3$, les valeurs de u_n pour n de 0 à 8 sont -3, -2,5, -1, 1,5, 5, 9,5, 15, 21,5 et 29.

📖 4. Sens de variation d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante à partir du rang p lorsque, pour tout n≥p, u_{n+1}≥u_n.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante à partir du rang p lorsque, pour tout n≥p, u_{n+1}≤u_n.

📝 Points essentiels

• Les suites définies par u_n=n^2-4n+4 et v_n=1/[n(n+1)] sont respectivement étudiées pour établir une croissance à partir d’un certain rang et une décroissance sur les entiers naturels non nuls.

💡 Astuce mémo

Croissante : les termes montent ou restent égaux ; décroissante : ils baissent ou restent égaux.

📖 5. Étude des variations par fonction

★ À maîtriser

📌 Si u_n=f(n) et si f est croissante sur [p ; +∞[, alors la suite (u_n) est croissante à partir du rang p.

📌 Si u_n=f(n) et si f est décroissante sur [p ; +∞[, alors la suite (u_n) est décroissante à partir du rang p.

Compléments

• La réciproque de la propriété reliant la monotonie de f à celle de la suite définie par u_n=f(n) est fausse.

• La suite définie par u_n=1/n sur les entiers naturels non nuls est étudiée à l’aide de la fonction associée pour établir sa décroissance.

💡 Astuce mémo

Fonction monotone sur l’intervalle → suite associée monotone à partir du rang correspondant.

📖 6. Limites et convergence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Suite dont les termes se rapprochent d’une valeur lorsque n devient grand.
• Divergence vers l’infini : Suite dont les termes deviennent arbitrairement grands quand n devient grand.

📝 Points essentiels

• Pour n≥1, la suite définie par $u_n=\frac{2n+1}{n}$ converge vers 2, ce qui s’écrit $\lim_{n\to+\infty}u_n=2$.

• La suite définie par u_n=n^2+1 diverge vers +∞, et $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

• La suite définie par v_0=2 et v_{n+1}=(-1)^n v_n commence par 2, 2, -2, -2, 2 et 2 et ne se rapproche pas d’une valeur unique, donc elle diverge.

💡 Astuce mémo

Convergence : rapprochement d’une valeur unique ; divergence : croissance vers l’infini ou absence de valeur limite.