Fiche de révision : Suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation des suites
2. Formule explicite
3. Relation de récurrence
4. Représentation et variation graphique
5. Variation par différence

📖 1. Définition et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction de ℕ dans ℝ qui, à tout entier naturel n, associe son image u(n), notée aussi uₙ.
• Terme de rang n : Le terme de la suite de rang n et se lit « u indice n ».

★ À maîtriser

📌 Lorsque le premier terme est u₀, le troisième terme est u₂ ; lorsque le premier terme est u₁, la suite est définie sur ℕ* au lieu de ℕ.

Compléments

• Une suite se note (uₙ) et peut être désignée par les lettres u, v ou w.

📖 2. Formule explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Suite (uₙ) définie lorsque l'on peut calculer directement uₙ en fonction de n.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La suite définie par $u_n=2n+3$ vérifie $u_0=3$, $u_1=5$, $u_2=7$ et $u_3=9$.

• Pour une suite définie explicitement, le calcul d'un terme d'indice élevé est généralement plus rapide qu'avec une relation de récurrence.

📖 3. Relation de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Suite définie lorsqu'un premier terme et une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent sont donnés.

★ À maîtriser

• Pour calculer successivement les termes d'une suite récurrente, on part du premier terme puis on applique la relation au terme précédent afin d'obtenir le terme suivant.

Compléments

• Avec u₀=10 et uₙ₊₁=3uₙ, on obtient u₁=30.

💡 Astuce mémo

Premier terme → calcul avec le précédent → terme suivant

📖 4. Représentation et variation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite dont les ordonnées des points représentant les termes deviennent de plus en plus grandes.
• Suite décroissante : Suite dont les ordonnées des points représentant les termes deviennent de plus en plus petites.

📝 Points essentiels

• Les termes d'une suite peuvent être représentés par les points Aₙ(n;uₙ) dans un repère du plan, formant un nuage de points.

📌 La lecture graphique des premiers termes permet de conjecturer le sens de variation d'une suite, mais elle ne permet pas de le démontrer avec certitude.

💡 Astuce mémo

Ordonnées croissantes : suite croissante ; ordonnées décroissantes : suite décroissante

📖 5. Variation par différence

★ À maîtriser

📌 Si uₙ₊₁−uₙ>0, alors uₙ₊₁>uₙ et la suite (uₙ) est croissante.

📌 Si uₙ₊₁−uₙ<0, alors uₙ₊₁<uₙ et la suite (uₙ) est décroissante.

• Pour étudier le sens de variation d'une suite, on calcule la différence $u_{n+1}-u_n$ et on en étudie le signe.

Compléments

• Pour uₙ=5−2n, on obtient uₙ₊₁−uₙ=−2, donc la suite (uₙ) est décroissante.

• Pour la suite définie par v₀=10 et vₙ₊₁=vₙ+3, on a v₁=13 et v₂=16, donc la suite (vₙ) est croissante.

💡 Astuce mémo

uₙ₊₁ − uₙ > 0 → croissance ; uₙ₊₁ − uₙ < 0 → décroissance

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes de définition d'une suite