QCM : Suites numériques — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle description définit correctement une suite numérique uu ?

Une liste finie de nombres réels ne dépendant d'aucun indice naturel
Une fonction de N\mathbb{N} dans N\mathbb{N} associant à chaque indice un entier
Une fonction de R\mathbb{R} dans N\mathbb{N} associant à chaque nombre réel un entier
Une fonction de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R} associant à chaque nn le nombre u(n)u(n)

Une fonction de $$\mathbb{N}$$ dans $$\mathbb{R}$$ associant à chaque $$n$$ le nombre $$u(n)$$

Explication

Une suite numérique associe à chaque entier naturel nn un nombre réel u(n)u(n), également noté unu_n. La confusion fréquente consiste à croire que les valeurs d'une suite doivent être des entiers, alors qu'elles appartiennent à R\mathbb{R}.

2. Dans la notation unu_n, que représente précisément l'indice nn ?

Le rang du terme considéré
Le nom de la suite étudiée
Le nombre de termes déjà calculés
La valeur numérique du terme considéré

Le rang du terme considéré

Explication

L'indice nn indique le rang du terme, tandis que unu_n désigne le terme situé à ce rang. Confondre nn avec unu_n revient à prendre le rang pour la valeur du terme.

3. Une suite commence par le terme u1u_1 au lieu de u0u_0 ; quelle conséquence cela entraîne-t-il ?

Elle reste définie sur N\mathbb{N} et son troisième terme est u2u_2
Elle est définie sur N∗\mathbb{N}^* et son troisième terme est u3u_3
Elle est définie sur R\mathbb{R} et son troisième terme est u1u_1
Elle est définie sur N∗\mathbb{N}^* et son troisième terme est u2u_2

Elle est définie sur $$\mathbb{N}^*$$ et son troisième terme est $$u_3$$

Explication

Lorsque le premier terme est u1u_1, les rangs commencent à 11 : la suite est alors définie sur N∗\mathbb{N}^* et le troisième terme est u3u_3. Avec un premier terme u0u_0, le troisième terme serait u2u_2.

4. Quand une suite est-elle définie par une formule explicite ?

Lorsqu'on connaît seulement la valeur du premier terme
Lorsqu'on représente les termes par des points dans un repère
Lorsqu'on peut calculer directement unu_n en fonction de nn
Lorsqu'on obtient chaque terme en utilisant le terme précédent

Lorsqu'on peut calculer directement $$u_n$$ en fonction de $$n$$

Explication

Une formule explicite permet de déterminer directement le terme unu_n à partir de son indice nn. Une relation utilisant le terme précédent décrit plutôt une définition par récurrence.

5. Pour la suite définie par un=2n+3u_n=2n+3, quelle valeur vaut u2u_2 ?

55
77
66
99

$$7$$

Explication

En remplaçant nn par 22 dans la formule, on obtient u2=2×2+3=7u_2=2\times2+3=7. La valeur 55 correspond à u1u_1, tandis que 99 correspond à u3u_3.

6. Quelle information caractérise une définition par récurrence d'une suite ?

Une représentation graphique reliant les termes par des segments
Une liste complète des valeurs de la suite dans l'ordre
Une expression donnant chaque terme directement en fonction de son indice
Un premier terme et une relation donnant un terme à partir du précédent

Un premier terme et une relation donnant un terme à partir du précédent

Explication

Une définition par récurrence associe une valeur initiale à une relation de passage du terme précédent au terme suivant. Une expression directe en fonction de l'indice relève de la formule explicite.

7. On considère u0=10u_0=10 et un+1=3unu_{n+1}=3u_n. Quelle est la valeur de u1u_1 ?

3030
1010
33
1313

$$30$$

Explication

La relation donne u1=3u0=3×10=30u_1=3u_0=3\times10=30. Ajouter 33 à u0u_0 produirait 1313, mais la relation impose une multiplication par 33.

8. Comment les termes d’une suite sont-ils représentés dans un repère du plan ?

Par les segments reliant nn à unu_n sur un axe gradué
Par les points An(n;un+1)A_n(n;u_{n+1}), qui forment une courbe
Par les points An(n;un)A_n(n;u_n), qui forment un nuage de points
Par les points An(un;n)A_n(u_n;n), qui forment une droite

Par les points $$A_n(n;u_n)$$, qui forment un nuage de points

Explication

Le terme d’indice nn est associé au point de coordonnées An(n;un)A_n(n;u_n), et l’ensemble de ces points constitue un nuage. La représentation An(un;n)A_n(u_n;n) inverse les coordonnées et ne correspond pas à la convention donnée.

9. Quelle caractéristique graphique permet d’identifier une suite croissante ?

Les ordonnées des points deviennent de plus en plus grandes
Les abscisses des points deviennent de plus en plus grandes
Les écarts entre les ordonnées restent constants
Les ordonnées des points deviennent de plus en plus petites

Les ordonnées des points deviennent de plus en plus grandes

Explication

Une suite croissante se reconnaît au fait que les ordonnées des points représentant ses termes augmentent lorsque l’indice progresse. Des abscisses croissantes résultent de la représentation des indices et ne suffisent pas à caractériser la variation de la suite.

10. Quelle caractéristique graphique permet d’identifier une suite décroissante ?

Les points se rapprochent progressivement de l’axe des abscisses
Les ordonnées des points deviennent de plus en plus grandes
Les ordonnées des points deviennent de plus en plus petites
Les abscisses des points deviennent de plus en plus petites

Les ordonnées des points deviennent de plus en plus petites

Explication

Une suite décroissante possède des ordonnées qui diminuent lorsque les indices augmentent. La position des points par rapport à l’axe des abscisses ne constitue pas le critère général de décroissance.

11. Que peut-on conclure en observant les premiers points représentant une suite ?

On peut démontrer son sens de variation en observant la forme du nuage
On peut conjecturer son sens de variation, sans le démontrer avec certitude
On peut déterminer sa formule générale à partir de quelques points
On peut calculer exactement chaque différence entre deux termes successifs

On peut conjecturer son sens de variation, sans le démontrer avec certitude

Explication

La lecture graphique des premiers termes permet de formuler une conjecture sur le sens de variation. Une démonstration certaine exige ensuite un raisonnement, notamment l’étude du signe de la différence entre deux termes successifs.

12. Que peut-on déduire si un+1−un>0u_{n+1}-u_n>0 pour les indices étudiés ?

La suite est constante car un+1=unu_{n+1}=u_n
La suite est croissante car un+1>unu_{n+1}>u_n
La suite est décroissante car un+1<unu_{n+1}<u_n
La suite alterne car les termes changent de signe

La suite est croissante car $$u_{n+1}>u_n$$

Explication

Une différence positive signifie que le terme suivant est supérieur au terme précédent, donc la suite est croissante. Une différence nulle caractériserait une égalité entre deux termes, tandis qu’une différence négative indiquerait une décroissance.

13. Que peut-on déduire si un+1−un<0u_{n+1}-u_n<0 pour les indices étudiés ?

La suite est positive car ses termes diminuent
La suite est constante car un+1=unu_{n+1}=u_n
La suite est décroissante car un+1<unu_{n+1}<u_n
La suite est croissante car un+1>unu_{n+1}>u_n

La suite est décroissante car $$u_{n+1}<u_n$$

Explication

Une différence négative indique que chaque terme suivant est inférieur au précédent, ce qui caractérise une suite décroissante. Le fait que les termes diminuent ne renseigne pas à lui seul sur leur signe, qui peut être positif ou négatif.

14. Quelle méthode permet d’étudier le sens de variation d’une suite ?

Observer la valeur de unu_n sans la comparer au terme suivant
Calculer un+1−unu_{n+1}-u_n puis étudier le signe de cette différence
Calculer le produit un+1unu_{n+1}u_n puis examiner son signe
Comparer les indices nn et n+1n+1 sans calculer les termes

Calculer $$u_{n+1}-u_n$$ puis étudier le signe de cette différence

Explication

Le sens de variation se détermine en calculant la différence un+1−unu_{n+1}-u_n et en étudiant son signe. La valeur isolée de unu_n ne suffit pas, car la variation dépend de la comparaison entre deux termes successifs.

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Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une fonction de ℕ dans ℝ associant à chaque entier n un réel u(n).

Comment se lit le terme uₙ d'une suite ?

On le lit « u indice n ».

Comment se note une suite numérique ?

Elle se note (uₙ).

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