QCM : Suites numériques et convergence (25 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractérisation définit une suite réelle (un) (u_n) ?

Une application de R\mathbb{R} vers N\mathbb{N}
Une application de R\mathbb{R} vers R\mathbb{R}
Une application de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R}
Une application de N\mathbb{N} vers N\mathbb{N}

Une application de $$\mathbb{N}$$ vers $$\mathbb{R}$$

Explication

Une suite réelle associe à chaque entier naturel un nombre réel. Une fonction à valeurs naturelles confond les ensembles, tandis que les deux autres choix inversent ou élargissent le domaine.

2. Pour une suite réelle, on constate que chaque terme est supérieur ou égal au terme qui le précède. Quelle propriété cela établit-il ?

La suite est alternée
La suite est décroissante
La suite est strictement croissante
La suite est croissante

La suite est croissante

Explication

Une suite est croissante lorsque un+1≥unu_{n+1}\geq u_n pour tout entier naturel nn. La décroissance inverse l’inégalité, la croissance stricte exige une inégalité stricte, et l’alternance n’est pas la propriété décrite.

3. Une suite (un) (u_n) vérifie un≤12u_n\leq 12 pour chaque entier naturel nn. Quelle propriété cette condition garantit-elle ?

La suite est majorée par 1212
La suite atteint un maximum égal à 1212
La suite est minorée par 1212
La suite est bornée par 1212

La suite est majorée par $$12$$

Explication

Une suite est majorée par un réel MM si chacun de ses termes vérifie un≤Mu_n\leq M; ici, M=12M=12 convient. Une minoration impose le sens contraire, et la condition n’assure ni que 1212 soit atteint ni que la suite soit également minorée.

4. Une suite est à la fois majorée par un réel et minorée par un réel. Comment la qualifie-t-on ?

Elle est monotone
Elle est majorée
Elle est minorée
Elle est bornée

Elle est bornée

Explication

Une suite est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée. La majoration ou la minoration seule ne suffit pas, et la monotonie est une propriété distincte.

5. Quelle condition exprime que la suite (un) (u_n) converge vers le réel l l ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe un entier pp tel que, pour tout n≥pn\geq p, ∣un−l∣≤ε|u_n-l|\leq\varepsilon.
Il existe ε>0\varepsilon>0 et un entier pp tels que, pour tout n≥pn\geq p, ∣un−l∣<ε|u_n-l|<\varepsilon.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe un entier pp tel que, pour tout n≥pn\geq p, ∣un−l∣<ε|u_n-l|<\varepsilon.
Pour tout ε>0\varepsilon>0 et tout entier nn, il existe un entier p≥np\geq n tel que ∣up−l∣<ε|u_p-l|<\varepsilon.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe un entier $$p$$ tel que, pour tout $$n\geq p$$, $$|u_n-l|<\varepsilon$$.

Explication

La convergence signifie qu’à partir d’un certain rang, tous les termes sont à une distance strictement inférieure à chaque précision positive choisie. Une précision fixée à l’avance ne suffit pas, la borne est stricte et le seuil doit contrôler tous les rangs suivants.

6. Une suite réelle est bornée, mais ses termes oscillent entre −1-1 et 11 sans se rapprocher d’un même réel. Quelle conclusion est justifiée ?

Elle diverge vers +∞+\infty, car l’oscillation empêche ses termes de se stabiliser.
Elle n’est pas bornée, car une suite sans limite ne peut rester dans un intervalle.
Elle est bornée, mais cette propriété ne permet pas à elle seule de conclure qu’elle converge.
Elle converge, car toute suite dont les termes restent dans un intervalle possède une limite.

Elle est bornée, mais cette propriété ne permet pas à elle seule de conclure qu’elle converge.

Explication

Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse : une suite peut rester bornée sans converger. L’oscillation indique ici l’absence de convergence, sans entraîner une divergence vers l’infini.

7. Pour tout nn, on a an≤bn≤cna_n\leq b_n\leq c_n, et les suites (an) (a_n) et (cn) (c_n) convergent toutes deux vers 44. Vers quelle limite converge (bn) (b_n) ?

Vers la limite de (bn) (b_n) choisie indépendamment de ses bornes.
Aucune convergence ne peut être conclue à partir de cet encadrement.
Vers 44, par le théorème d’encadrement.
Vers une limite inférieure ou égale à 44, déterminée par (an) (a_n) .

Vers $$4$$, par le théorème d’encadrement.

Explication

Lorsqu’une suite est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite, elle converge vers cette limite commune : ici, 44. Utiliser une seule borne ne donne pas cette conclusion, et l’encadrement par deux suites de même limite va au-delà d’une simple bornitude.

8. Deux suites convergentes vérifient xn≤ynx_n\leq y_n pour tout nn, avec lim⁡xn=2\lim x_n=2. Laquelle de ces limites de (yn) (y_n) est compatible avec l’inégalité ?

33
11
La limite de (yn) (y_n) ne peut pas être déterminée.
22

$$3$$

Explication

L’ordre terme à terme est conservé au passage à la limite : lim⁡xn≤lim⁡yn\lim x_n\leq\lim y_n, donc la limite de (yn) (y_n) doit être au moins 22. Une limite égale à 22 convient également, mais une limite inférieure, comme 11, contredirait cet ordre.

9. Une suite (un) (u_n) est croissante et ses termes admettent 77 comme plus petit majorant. Vers quoi converge-t-elle ?

Vers 77, qui est la borne supérieure de ses termes.
Vers le dernier terme de la suite, qui vaut 77.
Vers +∞+\infty, puisque la suite est croissante.
Vers le plus grand minorant de ses termes, qui peut différer de 77.

Vers $$7$$, qui est la borne supérieure de ses termes.

Explication

Toute suite croissante et majorée converge vers la borne supérieure de ses termes, ici 77. La croissance seule n’implique pas une divergence vers l’infini, et la borne supérieure n’a pas besoin d’être un terme de la suite.

10. Une suite (vn) (v_n) est croissante et, pour tout réel MM, certains de ses termes dépassent MM. Quel est son comportement à la limite ?

Elle diverge vers −∞-\infty.
Elle diverge vers +∞+\infty.
Elle converge vers sa borne supérieure finie.
Elle reste bornée et ne converge pas.

Elle diverge vers $$+\infty$$.

Explication

Une suite croissante qui n’est pas majorée diverge vers +∞+\infty. Une borne supérieure finie est exclue par la non-majoration, tandis que la croissance exclut une divergence vers −∞-\infty.

11. Une suite (wn) (w_n) est décroissante et possède −3-3 comme plus grand minorant de ses termes. Vers quelle limite converge-t-elle ?

Vers le plus petit majorant de ses termes, qui peut différer de −3-3.
Vers −3-3, qui est la borne inférieure de ses termes.
Vers la limite de son premier terme, déterminée par sa décroissance.
Vers −∞-\infty, car la suite est décroissante.

Vers $$-3$$, qui est la borne inférieure de ses termes.

Explication

Toute suite décroissante et minorée converge vers la borne inférieure de ses termes, ici −3-3. La décroissance n’entraîne pas à elle seule une divergence vers −∞-\infty, et c’est la borne inférieure, non la borne supérieure, qui détermine la limite.

12. Pour une suite (un)(u_n), quelle condition sur une application φ\varphi garantit que vn=uφ(n)v_n=u_{\varphi(n)} définit une suite extraite de (un)(u_n) ?

φ\varphi est décroissante de N\mathbb{N} dans N\mathbb{N}
φ\varphi est strictement croissante de N\mathbb{N} dans N\mathbb{N}
un=vφ(n)u_n= v_{\varphi(n)} pour tout nn
φ\varphi est strictement croissante de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R}

$$\varphi$$ est strictement croissante de $$\mathbb{N}$$ dans $$\mathbb{N}$$

Explication

Une suite extraite s’obtient en sélectionnant les termes de la suite initiale selon des indices naturels strictement croissants. Une croissance non stricte peut répéter un indice, des valeurs réelles ne sont pas nécessairement des indices et l’égalité inversée ne définit pas l’extraction.

13. Une suite réelle possède deux suites extraites qui convergent respectivement vers 22 et 55. Que peut-on conclure sur la suite initiale ?

On ne peut rien conclure sans connaître les termes de la suite initiale.
Elle converge vers 55, car la seconde suite extraite fixe la limite de la suite initiale.
Elle diverge, car une suite convergente ne peut avoir des suites extraites de limites distinctes.
Elle converge vers 22, car la première suite extraite fixe la limite de la suite initiale.

Elle diverge, car une suite convergente ne peut avoir des suites extraites de limites distinctes.

Explication

Si la suite initiale convergait, toutes ses suites extraites convergeraient vers cette même limite; les limites distinctes 22 et 55 établissent donc sa divergence. L’existence d’une seule extraite convergente ne fixe pas la limite initiale, et une extraite divergente n’est pas nécessaire pour conclure ici.

14. Deux suites réelles (un)(u_n) et (vn)(v_n) vérifient que l’une est croissante, l’autre décroissante, et que leur différence tend vers zéro. Comment les caractérise-t-on ?

Elles sont bornées et périodiques.
Elles sont simplement convergentes vers une même limite.
Elles sont toutes deux croissantes.
Elles sont adjacentes.

Elles sont adjacentes.

Explication

Deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre décroissante, et que leur différence tend vers zéro. La monotonie dans le même sens ne convient pas, et une limite commune ne suffit pas à elle seule à établir l’adjacence.

15. Les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont adjacentes, avec (un)(u_n) croissante et (vn)(v_n) décroissante. Si leur limite commune est ℓ\ell, quelle relation vaut pour chaque entier naturel nn ?

ℓ≤un≤vn\ell\leq u_n\leq v_n
vn≤ℓ≤unv_n\leq \ell\leq u_n
un≤ℓ≤vnu_n\leq \ell\leq v_n
un≤vn≤ℓu_n\leq v_n\leq \ell

$$u_n\leq \ell\leq v_n$$

Explication

Pour deux suites adjacentes dans cet ordre, leur limite commune se trouve entre leurs termes : un≤ℓ≤vnu_n\leq \ell\leq v_n. L’encadrement inversé échange les rôles des suites; les autres relations placent la limite à l’extérieur de l’intervalle.

16. Quelle donnée, avec une relation de récurrence, définit une suite récurrente sur un intervalle II ?

Un terme quelconque un∈Iu_n\in I et la relation un+1=f(un+1)u_{n+1}=f(u_{n+1}), avec f:I→Rf:I\to\mathbb{R}
Un terme initial u0∈Iu_0\in I et la relation un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), avec f:I→Rf:I\to\mathbb{R}
Un terme initial u0∈Iu_0\in I et la relation un=f(un+1)u_n=f(u_{n+1}), avec f:I→Rf:I\to\mathbb{R}
Un terme initial u0∈Iu_0\in I et la relation un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), avec f:I→If:I\to I

Un terme initial $$u_0\in I$$ et la relation $$u_{n+1}=f(u_n)$$, avec $$f:I\to\mathbb{R}$$

Explication

Une suite récurrente est déterminée à partir de son terme initial u0u_0 par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), où la fonction est définie de II vers R\mathbb{R}. Le terme variable confond la donnée initiale avec un terme ultérieur, la relation inversée utilise le mauvais indice et le codomaine II ajoute une condition de stabilité.

17. Pour I=[0,4]I=[0,4] et f(x)=x/2+1f(x)=x/2+1, quelle vérification établit que II est stable par ff ?

Montrer que f(0)∈[0,4]f(0)\in[0,4] pour le point initial choisi
Montrer que tout x∈[0,4]x\in[0,4] est égal à f(y)f(y) pour un y∈[0,4]y\in[0,4]
Montrer qu’il existe un x∈[0,4]x\in[0,4] tel que f(x)=xf(x)=x
Montrer que f(x)∈[0,4]f(x)\in[0,4] pour tout x∈[0,4]x\in[0,4]

Montrer que $$f(x)\in[0,4]$$ pour tout $$x\in[0,4]$$

Explication

La stabilité exige que l’image de chaque élément de II appartienne à II. Vérifier un seul point ne suffit pas, l’existence d’un point fixe est une autre propriété et l’inclusion de II dans l’image inverse le sens de la condition.

18. Une suite est définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), et ses termes appartiennent à [0,5][0,5]. Quelle étude permet de déterminer son sens de variation ?

Comparer f(x)f(x) à zéro sans la comparer à chaque terme
Comparer f(x)−xf(x)-x à zéro sur l’intervalle contenant les termes
Comparer u0u_0 à zéro sans examiner les termes suivants
Comparer f(x)+xf(x)+x à zéro sur l’intervalle contenant les termes

Comparer $$f(x)-x$$ à zéro sur l’intervalle contenant les termes

Explication

Pour étudier les variations, on compare un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) à unu_n, ce qui revient à étudier le signe de f(x)−xf(x)-x sur l’intervalle concerné. La somme ne donne pas cette différence, le signe de f(x)f(x) seul ne compare pas deux termes et l’étude du seul terme initial est insuffisante.

19. Une fonction ff est croissante et une suite vérifie un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) ainsi que u1−u0≥0u_1-u_0\geq 0. Quelle conclusion découle de ces informations ?

La suite est strictement croissante
Les deux sous-suites d’indices pairs et impairs varient en sens contraire
La suite est croissante
La suite est décroissante

La suite est croissante

Explication

Lorsque ff est croissante, le signe de u1−u0u_1-u_0 détermine la monotonie de la suite : un signe positif ou nul entraîne une suite croissante. Une différence négative donnerait une suite décroissante, le résultat sur les sous-suites concerne une fonction décroissante et l’inégalité large ne garantit pas une croissance stricte.

20. Une suite est définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) avec ff décroissante. Quel comportement faut-il attendre des sous-suites (u2n) (u_{2n}) et (u2n+1) (u_{2n+1}) ?

Elles sont monotones et varient en sens contraire
Elles alternent chacune entre des termes croissants et décroissants
Elles sont monotones et varient dans le même sens
La suite entière est monotone selon le signe de u1−u0u_1-u_0

Elles sont monotones et varient en sens contraire

Explication

Pour une fonction décroissante, les sous-suites des termes d’indice pair et impair sont monotones, mais leurs sens de variation sont contraires. La monotonie de la suite entière fondée sur le premier écart correspond au cas d’une fonction croissante; les deux sous-suites ne varient donc pas dans le même sens.

21. Pour une fonction ff définie sur un intervalle II, quelle condition caractérise un point fixe xx de ff ?

x∈Ix\in I et f(x)=xf(x)=x
x∈Ix\in I et f(x)=0f(x)=0
x∈Ix\in I et f(0)=xf(0)=x
x∈Ix\in I et f(x)=−xf(x)=-x

$$x\in I$$ et $$f(x)=x$$

Explication

Un point fixe est un élément de II que la fonction laisse inchangé, donc il vérifie f(x)=xf(x)=x. La condition f(x)=0f(x)=0 caractérise un zéro, tandis que f(0)=xf(0)=x porte sur l’image de zéro.

22. Une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) converge vers l∈Il\in I, et ff est continue en ll. Que peut-on conclure ?

La suite converge parce que ff est continue
f(l)=lf(l)=l
f(l)=0f(l)=0
ll est nécessairement la seule limite possible

$$f(l)=l$$

Explication

La convergence vers un élément de II, jointe à la continuité en cette limite, permet de conclure que f(l)=lf(l)=l. La continuité seule ne prouve pas la convergence, et un point fixe n’est pas forcément unique.

23. Pour étudier rigoureusement une suite définie par récurrence, quel enchaînement d’étapes faut-il suivre ?

Vérifier la continuité, déterminer la limite, puis établir la stabilité de l’intervalle
Prouver la convergence, conclure à un point fixe, puis vérifier que la suite est bien définie
Calculer les points fixes, supposer la convergence, puis vérifier que la suite est bien définie
Établir qu’elle est bien définie, prouver sa convergence, puis examiner sa limite et la continuité

Établir qu’elle est bien définie, prouver sa convergence, puis examiner sa limite et la continuité

Explication

La démarche commence par établir que les termes sont bien définis, puis prouve la convergence; on vérifie ensuite que la limite appartient à l’intervalle et utilise la continuité pour déterminer les points fixes possibles. Chercher les points fixes ne remplace pas la preuve de convergence.

24. On considère f(x)=x2+12f(x)=\frac{x^2+1}{2} sur [−1,1][-1,1] et la suite définie par u0=1u_0=1, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n). Quelle conclusion correspond à cet exemple ?

Elle reste inférieure ou égale à 1, décroît et converge vers 1
Elle dépasse 1, croît et converge vers 1
Elle reste inférieure ou égale à 1, croît et converge vers 1
Elle reste inférieure ou égale à 1, croît et converge vers 3

Elle reste inférieure ou égale à 1, croît et converge vers 1

Explication

Dans cet exemple, la suite reste majorée par 1, elle est croissante et sa limite est 1. La valeur 3 appartient à l’exemple de la racine carrée, tandis qu’une décroissance contredit le comportement décrit ici.

25. Pour f(x)=1x+1f(x)=\frac{1}{x+1} sur [0,+∞[[0,+\infty[, une suite récurrente commence par u0=1u_0=1. Vers quelle valeur converge-t-elle ?

5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}
11
33
5+12\frac{\sqrt{5}+1}{2}

$$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Explication

L’unique point fixe de cette fonction sur l’intervalle considéré est α=5−12\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, et la suite de terme initial 1 converge vers cette valeur. Le point fixe 3 relève de l’exemple avec f(x)=x+3f(x)=\sqrt{x+3}, et le terme initial n’est pas la limite.

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Qu’est-ce qu’une suite réelle ?

Une application de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R}.

À quelle condition une suite réelle (un) (u_n) est-elle croissante ?

Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N}, un+1≥unu_{n+1}\geq u_n.

Quand une suite réelle est-elle majorée ?

Il existe un réel qui est supérieur ou égal à tous ses termes.

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