Fiche de révision : Suites numériques et convergence

📋 Plan du Cours

1. Définition et monotonie des suites
2. Suites majorées et bornées
3. Limites et inégalités
4. Théorème des suites monotones
5. Suites extraites
6. Suites adjacentes et convergence commune
7. Définition des suites récurrentes
8. Variations des suites récurrentes
9. Limites et points fixes
10. Exemples de suites récurrentes

📖 1. Définition et monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : Une suite réelle est une application de l’ensemble des entiers naturels vers les nombres réels, notée $(u_n)$ ou $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
• Suite croissante : Une suite réelle $(u_n)$ est croissante si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\geq u_n$.
• Suite décroissante : Une suite réelle $(u_n)$ est décroissante si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leq u_n$.
• Suite monotone : Une suite réelle est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

• La suite définie par $u_n=(-1)^n$ n’est ni croissante ni décroissante.

📖 2. Suites majorées et bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite réelle $(u_n)$ est majorée s’il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq M$.
• Suite bornée : Une suite réelle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Suite minorée : Une suite réelle $(u_n)$ est minorée s’il existe un réel $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq m$.

📝 Points essentiels

📌 Toute suite croissante est minorée par son premier terme, et toute suite décroissante est majorée par son premier terme.

• La suite $u_n=(-1)^n$ est bornée car $-1\leq u_n\leq 1$ pour tout entier naturel $n$.

📖 3. Limites et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Une suite $(u_n)$ converge vers le réel $l$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $|u_n-l|<\varepsilon$.

★ À maîtriser

• Toute suite convergente possède une limite unique.

• Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée n’est pas nécessairement convergente.

📌 Si $u_n\leq v_n\leq w_n$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $l$, alors $(v_n)$ converge vers $l$.

Compléments

• Si deux suites convergentes vérifient $u_n\leq v_n$ pour tout $n$, alors leurs limites vérifient $\lim u_n\leq\lim v_n$.

• Si $u_n\leq v_n$ pour tout $n$ et si $u_n$ tend vers $+\infty$, alors $v_n$ tend vers $+\infty$.

• Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers $0$ converge vers $0$.

📖 4. Théorème des suites monotones

★ À maîtriser

• Toute suite croissante et majorée converge vers la borne supérieure de ses termes.

• Toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.

• Toute suite décroissante et minorée converge vers la borne inférieure de ses termes.

Compléments

📌 Toute suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$.

• La suite harmonique $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ est croissante et non bornée, donc elle diverge vers $+\infty$.

💡 Astuce mémo

Monotonie + borne du bon côté → convergence

📖 5. Suites extraites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite extraite : Une suite $(v_n)$ est extraite de $(u_n)$ s’il existe une application strictement croissante $\varphi$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telle que $v_n=u_{\varphi(n)}$.

★ À maîtriser

📌 Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite que la suite initiale.

Compléments

📌 Si une suite possède une suite extraite divergente, alors la suite initiale diverge.

📌 Si deux suites extraites d’une même suite convergent vers des limites distinctes, alors la suite initiale diverge.

• Si une suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors ses suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent également vers $l$.

📖 6. Suites adjacentes et convergence commune

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Deux suites réelles dont l’une est croissante, l’autre décroissante et dont la différence tend vers 0.

★ À maîtriser

• Deux suites adjacentes convergent vers une même limite réelle, située entre leurs termes : u_n ≤ l ≤ v_n.

Compléments

📌 Si deux suites adjacentes vérifient que u_n est croissante et v_n décroissante, alors u_n ≤ v_n pour tout n.

• Pour deux suites adjacentes avec u_n croissante et v_n décroissante, leur limite commune est sup_n u_n et inf_n v_n.

• Pour a_n = ∑{k=1}^n (-1)^{k-1}/k, les suites a{2n} et a_{2n+1} sont adjacentes et convergent vers une même limite.

📌 Dans cet exemple, 0 ≤ l − a_{2n} ≤ 1/(2n+1), donc n ≥ 50 suffit pour que a_{2n} approche l à 10⁻² près.

📖 7. Définition des suites récurrentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite récurrente : Suite définie par un terme initial u₀ ∈ I et la relation u_{n+1}=f(u_n), où f est une fonction de I dans ℝ.
• Stabilité par f : Un intervalle I tel que f(x) appartient à I pour tout x appartenant à I.

📝 Points essentiels

📌 Si un terme u_n appartient à I mais que f(u_n) n’appartient pas à I, la définition de la suite s’arrête au rang n.

📌 Si I est stable par f et u₀ appartient à I, la suite définie par u_{n+1}=f(u_n) reste dans I et est définie pour tout entier n.

• La construction graphique des termes alterne les reports entre la courbe de f et la droite d’équation y=x : depuis u₀ sur l’axe des abscisses, on rejoint la courbe, puis la droite y=x, et on répète.

💡 Astuce mémo

De u₀, appliquer f pour obtenir u₁, puis recommencer.

📖 8. Variations des suites récurrentes

★ À maîtriser

• Pour étudier les variations d’une suite récurrente, on compare u_{n+1}=f(u_n) à u_n, ou le signe de f(x)−x sur l’intervalle contenant les termes.

• Si f est croissante, la suite récurrente est monotone : elle est croissante si u₁−u₀ ≥ 0 et décroissante si u₁−u₀ ≤ 0.

• Si f est décroissante, les sous-suites (u_{2n}) et (u_{2n+1}) sont monotones et varient en sens contraire.

Compléments

📌 Si f(x)−x ≥ 0 pour tous les termes u_n, alors la suite récurrente est croissante.

📌 Si f(x)−x ≤ 0 pour tous les termes u_n, alors la suite récurrente est décroissante.

💡 Astuce mémo

f croissante conserve le sens de variation ; f décroissante inverse le sens.

📖 9. Limites et points fixes

🔑 Notions clés & Définitions

• Point fixe : Réel x de I tel que f(x)=x ; graphiquement, il correspond à l’abscisse d’une intersection de la courbe de f avec la droite y=x.

★ À maîtriser

📌 Si une suite récurrente converge vers l ∈ I et si f est continue en l, alors l est un point fixe de f.

• Pour étudier une suite récurrente, on établit d’abord qu’elle est bien définie, on prouve ensuite sa convergence, puis on vérifie que sa limite appartient à I et utilise la continuité de f pour déterminer les points fixes possibles.

Compléments

📌 Le théorème du point fixe ne démontre pas la convergence de la suite : celle-ci doit être établie auparavant, et sa limite doit appartenir à I.

📖 10. Exemples de suites récurrentes

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=(x²+1)/2 sur [−1,1], la suite de terme initial u₀=1 définie par u_{n+1}=f(u_n) reste inférieure ou égale à 1, est croissante et converge vers 1.

• Pour f(x)=√(x+3) sur [0,+∞[, l’intervalle est stable, le point fixe est 3, et la suite de terme initial u₀≥0 converge vers 3.

• Pour f(x)=1/(x+1) sur [0,+∞[, l’unique point fixe est α=(√5−1)/2 et la suite de terme initial u₀=1 converge vers α.

📊 Tableaux de synthèse

Convergence des suites monotones