Fiche de révision : Suites numériques et limites

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des suites
2. Variations des suites
3. Suites arithmétiques et géométriques
4. Notion de limite
5. Opérations sur les limites
6. Comparaison et convergence
7. Limites de q puissance n

📖 1. Définition et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Suite ordonnée et infinie de nombres, dont le terme général uₙ est repéré par l’indice n, entier naturel indiquant son rang.

★ À maîtriser

📌 Une suite peut être définie explicitement en exprimant uₙ en fonction de n, ou par récurrence en exprimant uₙ₊₁ en fonction de uₙ.

Compléments

• Pour uₙ=1/n, la suite est définie pour n≥1 et commence par 1, 1/2, 1/3 et 1/4.

• La suite définie par récurrence pₙ₊₁=2,8(1−0,001pₙ)pₙ avec p₀=500 ne permet pas de calculer directement son terme général sans connaître le terme précédent.

💡 Astuce mémo

Formule explicite : uₙ dépend de n ; récurrence : uₙ₊₁ dépend de uₙ.

📖 2. Variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Lorsque, pour tout n≥n₀, uₙ≤uₙ₊₁.
• Suite décroissante : Lorsque, pour tout n≥n₀, uₙ≥uₙ₊₁.

📝 Points essentiels

📌 Pour étudier les variations d’une suite, on peut étudier le signe de uₙ₊₁−uₙ, comparer uₙ₊₁/uₙ à 1 lorsque uₙ>0, ou étudier les variations de f lorsque uₙ=f(n).

💡 Astuce mémo

Différence ou quotient : uₙ₊₁−uₙ compare directement, uₙ₊₁/uₙ compare à 1 si uₙ>0.

📖 3. Suites arithmétiques et géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r, on a $u_{n+1}=u_n+r$, $u_n=u_0+nr=u_1+(n-1)r$ et $u_n-u_p=(n-p)r$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q, on a $u_{n+1}=qu_n$, $u_n=u_0q^n=u_1q^{n-1}$ et $u_n/u_p=q^{n-p}$.

📐 Formule — La somme de N termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut $\frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}\times N$, tandis que celle d’une suite géométrique vaut $u_1\frac{1-q^N}{1-q}$ lorsque q≠1.

Compléments

📐 Formule — Les résultats utiles sont $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ et $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ lorsque q≠1.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 4. Notion de limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite divergente : Suite qui n’a pas de limite.

★ À maîtriser

• Dans l’activité de carrelage, la largeur cumulée vérifie u₁=1, u₂=1,5, u₃=1,75 et uₙ₊₁=uₙ+(1/2)ⁿ, avec une limite conjecturée égale à 2.

Compléments

• Dans le modèle de population pₙ₊₁=2,8(1−0,001pₙ)pₙ avec p₀=500, la population estimée après 20 ans est de 642 lions.

• La suite de terme général cos n n’a pas de limite.

💡 Astuce mémo

Les termes se rapprochent d’une valeur : la suite admet une limite finie.

📖 5. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• Les formes indéterminées citées sont:
  • ∞−∞
  • ∞×0
  • 0/0

Compléments

• Si uₙ=n et vₙ=4−n, alors uₙ+vₙ=4 et la limite de la somme vaut 4, bien que les limites individuelles soient +∞ et −∞.

• Si uₙ=n et vₙ=1/n, alors uₙvₙ=1 et la limite du produit vaut 1, bien que les limites individuelles soient +∞ et 0.

💡 Astuce mémo

∞−∞, ∞×0 et 0/0 sont indéterminées : le résultat dépend des suites.

📖 6. Comparaison et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Lorsque, pour tout n∈ℕ, wₙ≤vₙ.
• Suite minorée : Lorsque, pour tout n∈ℕ, wₙ≥vₙ.

📝 Points essentiels

📌 Si vₙ≤uₙ≤wₙ à partir d’un certain rang et si vₙ et wₙ tendent vers la même limite l, alors uₙ tend vers l.

📌 Si une suite croissante converge vers l, tous ses termes sont inférieurs ou égaux à l, tandis que si elle est décroissante et converge vers l, tous ses termes sont supérieurs ou égaux à l.

💡 Astuce mémo

Une suite est prise en étau entre deux suites qui convergent vers la même limite.

📖 7. Limites de q puissance n

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour la suite qⁿ, si q>1 alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$, si q=1 alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=1$, et si −1<q<1 alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=0$.

Compléments

• Pour démontrer le cas q>1, on écrit q=1+a avec a>0, puis l’inégalité de Bernoulli donne (1+a)ⁿ>1+na, dont la limite est +∞.

• La suite de terme général (−1)ⁿ alterne entre 1 et −1 et n’a pas de limite.

💡 Astuce mémo

q>1 diverge vers +∞, q=1 reste à 1, |q|<1 tend vers 0.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques