Fiche de révision : Suites numériques et limites

📋 Plan du Cours

1. Limite finie d’une suite
2. Limites infinies et suites divergentes
3. Suites usuelles et seuils
4. Opérations sur les limites
5. Composition et comparaison des limites
6. Théorèmes d’encadrement
7. Limites des suites géométriques
8. Bornes et convergence monotone
9. Exemple de la constante d’Erdős

📖 1. Limite finie d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Convergence vers le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient les termes $M_n$ à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La définition de la convergence s’écrit $\forall \varepsilon>0,\ \exists n_\varepsilon\in\mathbb N,\ \forall n\ge n_\varepsilon,\ |M_n-l|<\varepsilon.$

• Pour la suite définie par $M_n=4+\frac{1}{n}$, on a $\lim_{n\to+\infty}M_n=4$.

💡 Astuce mémo

Les termes de la suite finissent par entrer dans une fenêtre de plus en plus étroite autour de l

📖 2. Limites infinies et suites divergentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie positive : Tendance vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $[A,+\infty[$ contient ses termes à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

📐 Formule — La définition de la limite $+\infty$ s’écrit $\forall A>0,\ \exists n_A\in\mathbb N,\ \forall n>n_A,\ u_n>A.$

Compléments

📌 Une suite qui admet une limite finie est dite convergente, tandis qu’une suite non convergente est dite divergente.

💡 Astuce mémo

Limite finie : fenêtre autour de l ; limite infinie : seuil dépassé ou borne franchie

📖 3. Suites usuelles et seuils

★ À maîtriser

• Les suites de termes généraux $1/\sqrt n$, $1/n$, $1/n^2$ et $1/n^p$ avec $p\in\mathbb N^*$ convergent vers 0.

• Les suites de termes généraux $\sqrt n$, $n$, $n^2$ et $n^p$ avec $p\in\mathbb N^*$ tendent vers $+\infty$.

Compléments

• Pour montrer que $n^2$ tend vers $+\infty$, on utilise $n^2>A\iff n>\sqrt A$ et on peut choisir $n_0=\operatorname{Ent}(\sqrt A)+1$.

• Pour la suite $\mu_n=2n^3-7$, un algorithme de seuil augmente n et recalcule $\mu_n$ jusqu’à obtenir $\mu_n\ge A$.

💡 Astuce mémo

Les puissances positives s’échappent vers +∞, leurs inverses reviennent vers 0

📖 4. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• Les formes indéterminées rencontrées sont $+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $0/0$ et $\infty/\infty$.

• Si $u_n\to L$ et $v_n\to L'$ avec $L,L'$ réels, alors $u_n+v_n\to L+L'$.

• Si $u_n\to L$ et $v_n\to L'$ avec des limites finies, alors $u_nv_n\to LL'$.

• Pour $\mu_n=\frac{3n-5}{7-2n}$, la division par n donne $\mu_n=\frac{3-5/n}{-2+7/n}$, donc $\mu_n\to-3/2$.

Compléments

• Comme $3\to3$ et $1/n^2\to0$ avec $1/n^2>0$, on obtient $3/(1/n^2)=3n^2\to+\infty$.

📖 5. Composition et comparaison des limites

★ À maîtriser

📌 Si $u_n\to a$ et si $f(x)\to b$ lorsque $x\to a$, alors $f(u_n)\to b$.

Compléments

• Comme $\frac{\pi}{3}+\frac{2}{n}\to\frac{\pi}{3}$ et $\sin x\to\sin(\pi/3)$ lorsque $x\to\pi/3$, on a $\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{2}{n})\to\frac{\sqrt3}{2}$.

💡 Astuce mémo

Suite intérieure vers a et fonction vers b autour de a ⟶ composée vers b

📖 6. Théorèmes d’encadrement

📝 Points essentiels

📌 Si $u_n\le v_n$ à partir d’un certain rang et si $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$.

📌 Si $u_n\le v_n\le w_n$ à partir d’un certain rang et si $u_n$ et $w_n$ convergent vers L, alors $v_n$ converge vers L.

💡 Astuce mémo

La suite centrale est prise entre deux barrières qui convergent vers la même limite

📖 7. Limites des suites géométriques

★ À maîtriser

• Pour une suite géométrique $(q^n)$, si $q>1$ alors $q^n\to+\infty$, si $q=1$ alors $q^n\to1$, si $-1<q<1$ alors $q^n\to0$, et si $q\le-1$ alors la suite n’a pas de limite.

Compléments

• Pour tout $n\in\mathbb N$ et tout $x\in\mathbb R_+^*$, l’inégalité de Bernoulli donne $(1+x)^n\ge1+nx.$

• Pour $0<q<1$, on pose $a=1/q>1$, puis $a^n\to+\infty$ et $q^n=1/a^n\to0$.

• Pour $-1<q<0$, en posant $a=-q$ avec $0<a<1$, on a $-a^n\le q^n\le a^n$ et le théorème des gendarmes donne $q^n\to0$.

💡 Astuce mémo

|q|<1 s’éteint, q>1 diverge vers +∞, q≤−1 oscille ou diverge

📖 8. Bornes et convergence monotone

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout n, $u_n\le M$.
• Suite minorée : Une suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout n, $u_n\ge m$.
• Suite bornée : À la fois majorée et minorée, c’est-à-dire s’il existe m et M tels que $m\le u_n\le M$ pour tout n.

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge.

Compléments

• Les suites $(\sin n)$ et $(\cos n)$ sont bornées entre -1 et 1, et ces bornes ne sont pas atteintes sur $\mathbb N^*$.

💡 Astuce mémo

Monotone + borne adaptée ⟶ convergence

📖 9. Exemple de la constante d’Erdős

★ À maîtriser

• La suite d’Erdős est croissante par construction et majorée par 2, donc elle converge vers un nombre appelé nombre d’Erdős. — Paul Erdos, 1913-1996

Compléments

• La suite construite en concaténant les n premiers nombres premiers commence par $\mu_0=1$, $\mu_2=1{,}2$, $\mu_3=1{,}235$, $\mu_4=1{,}235$, $\mu_5=1{,}2357$, $\mu_6=1{,}235711$ et $\mu_7=1{,}23571113$. — Paul Erdos, 1913-1996

💡 Astuce mémo

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 : les nombres premiers s’ajoutent successivement

📊 Tableaux de synthèse

Règles des suites géométriques