Qu'est-ce qu'une propriété mathématique P(n) ?
Une phrase avec un verbe vraie ou fausse concernant un entier naturel n.
Quelles sont les trois étapes d'une démonstration par récurrence ?
Initialiser P(n₀), supposer P(k), démontrer P(k+1), puis conclure.
Quelle propriété de la suite uₙ définie par u₀=2 et uₙ₊₁=5uₙ+4 est démontrée par récurrence ?
La suite uₙ est strictement positive pour tout entier naturel n.
Principe du raisonnement par récurrence
Démontre qu'une propriété est vraie pour tout n ≥ n₀.
Initialisation en récurrence
Vérifier P(n₀) est vraie.
Hérédité en récurrence
Supposer P(k) est vraie et démontrer P(k+1).
Applications de la récurrence
Démontre des propriétés pour suites définies par récurrence.
Suite monotone
Croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ.
Test de monotonie algébrique
Étudie le signe de uₙ₊₁ - uₙ ou le quotient.
Suite majorée
Il existe M tel que uₙ ≤ M pour tout n.
Teste tes connaissances avec un QCM de 9 questions sur Suites numériques et récurrence.
1. Quelle caractéristique permet de noter une propriété mathématique sous la forme ?
2. Pour démontrer par récurrence qu’une propriété est vraie pour tout entier , que faut-il établir après l’initialisation ?
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