Fiche de révision : Suites numériques et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Principe du raisonnement par récurrence
2. Applications de la récurrence aux suites
3. Monotonie des suites
4. Méthodes d’étude de la monotonie
5. Suites majorées et bornées

📖 1. Principe du raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété mathématique : Phrase contenant un verbe qui est soit vraie, soit fausse, et qui peut être notée P(n) lorsqu’elle concerne un entier naturel n.
• Raisonnement par récurrence : Démarche qui démontre qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n₀ en vérifiant son initialisation au rang n₀ puis son hérédité d’un rang au suivant.

📝 Points essentiels

• 🔄 Une démonstration par récurrence comporte trois étapes:
  1. Vérifier que P(n₀) est vraie
  2. Supposer que P(k) est vraie pour un entier k supérieur ou égal à n₀ et démontrer que P(k+1) est vraie
  3. Conclure que P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à n₀

💡 Astuce mémo

Une rangée de dominos : le premier tombe, puis chaque domino entraîne le suivant.

📖 2. Applications de la récurrence aux suites

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 5uₙ + 4, une récurrence permet de démontrer que uₙ > 0 pour tout entier naturel n.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 3. Monotonie des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Suite qui est soit croissante, soit décroissante.

★ À maîtriser

📌 Une suite est croissante si, pour tout entier naturel n, $u_{n+1} \geqslant u_n$, et elle est décroissante si, pour tout entier naturel n, $u_{n+1} \leqslant u_n$.

Compléments

• Pour uₙ = n² + 3n, on obtient $u_{n+1}-u_n=2n+4\geqslant0$ pour n ≥ 0, donc la suite est croissante.

• Pour vₙ = (1/4)ⁿn² avec n ≥ 1, la comparaison du quotient à 1 montre que la suite est décroissante.

💡 Astuce mémo

Croissante : le terme suivant monte ; décroissante : le terme suivant descend.

📖 4. Méthodes d’étude de la monotonie

★ À maîtriser

• La méthode algébrique étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ ou compare $u_{n+1}/u_n$ à 1 lorsque les termes sont positifs.

• La méthode par récurrence démontre pour tout n une propriété telle que uₙ₊₁ ≤ uₙ ou uₙ₊₁ ≥ uₙ lorsqu’une suite est définie par une relation uₙ₊₁ = f(uₙ).

Compléments

• La méthode fonctionnelle consiste, pour une suite définie par uₙ = f(n), à étudier le sens de variation de f sur [0 ; +∞[ afin d’en déduire celui de la suite.

💡 Astuce mémo

DQR : différence, quotient, récurrence.

📖 5. Suites majorées et bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Suite pour laquelle il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, $u_n\leqslant M$ ; M est alors un majorant.
• Suite minorée : Suite pour laquelle il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n, $u_n\geqslant m$ ; m est alors un minorant.
• Suite bornée : À la fois majorée et minorée.

★ À maîtriser

• Pour uₙ = 2 - 1/(n² + 1), on a 1 ≤ uₙ ≤ 2, donc la suite est bornée par 1 et 2.

Compléments

• Pour uₙ = n² - 6n + 5, on a uₙ + 4 = (n - 3)² ≥ 0, donc uₙ ≥ -4 et la suite est minorée par -4.

💡 Astuce mémo

Majorée : plafond ; minorée : plancher ; bornée : les deux.

📊 Tableaux de synthèse

Types de comportement des suites