QCM : Suites numériques et récurrence — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique permet de noter une propriété mathématique sous la forme P(n)P(n) ?

Elle contient un verbe et possède une valeur de vérité
Elle contient une formule et fournit toujours un résultat numérique
Elle associe deux entiers et indique toujours une opération
Elle décrit une suite et donne nécessairement son terme général

Elle contient un verbe et possède une valeur de vérité

Explication

Une propriété mathématique est une phrase contenant un verbe, qui peut être vraie ou fausse, et sa dépendance en un entier naturel se note P(n)P(n). Une expression donnant un résultat numérique ne constitue pas forcément une propriété.

2. Qu'est-ce que le principe du raisonnement par récurrence en mathématiques ?

Une procédure qui établit la vérité d'une propriété en utilisant uniquement des arguments géométriques.
Une technique qui consiste à calculer directement la valeur de P(n) pour un nombre fini de n.
Une méthode qui consiste à vérifier la propriété P(n) pour un seul entier n, puis à supposer qu'elle est vraie pour un autre entier.
Une méthode de démonstration qui prouve qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n₀ en vérifiant son initialisation et son hérédité.

Une méthode de démonstration qui prouve qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n₀ en vérifiant son initialisation et son hérédité.

Explication

Le principe du raisonnement par récurrence consiste à démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers n supérieurs ou égaux à n₀ en vérifiant d'abord son cas initial, puis en prouvant que si elle est vraie pour un certain n, elle l'est aussi pour n+1. La méthode repose sur une étape d'initialisation et une étape d'hérédité.

3. Pour démontrer par récurrence qu’une propriété P(n)P(n) est vraie pour tout entier n≥n0n\geq n_0, que faut-il établir après l’initialisation ?

Que la valeur de P(k)P(k) reste constante lorsque kk augmente d’une unité
Que la propriété est vraie au rang n0n_0 sans examiner les rangs suivants
Que, pour un entier k≥n0k\geq n_0, la vérité de P(k)P(k) entraîne celle de P(k+1)P(k+1)
Que la propriété est fausse au rang n0+1n_0+1 avant de changer de rang

Que, pour un entier $$k\geq n_0$$, la vérité de $$P(k)$$ entraîne celle de $$P(k+1)$$

Explication

L’hérédité consiste à montrer que P(k)P(k) entraîne P(k+1)P(k+1) pour un entier k≥n0k\geq n_0, après avoir vérifié le rang initial. Vérifier le rang de départ ne suffit pas à établir le passage d’un rang au suivant.

4. Quelle étape est essentielle dans une démonstration par récurrence pour établir qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à n₀ ?

Vérifier que P(n₀) est vraie
Démontrer que P(n) est vraie pour un n spécifique
Conclure que P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à n₀
Supposer que P(k) est vraie pour un certain k

Vérifier que P(n₀) est vraie

Explication

La première étape consiste à vérifier que la propriété P(n₀) est vraie pour le rang initial n₀. La supposition que P(k) est vraie pour un certain k et la démonstration pour P(k+1) permettent ensuite d'établir la propriété pour tous les n.

5. Dans une démonstration par récurrence, quelle affirmation correspond à l’hypothèse de récurrence ?

On démontre que P(k+1)P(k+1) est vraie à partir d’un calcul direct
On conclut que P(n)P(n) est vraie pour chaque entier n≥n0n\geq n_0
On vérifie que P(n0)P(n_0) est vraie au premier rang considéré
On suppose que P(k)P(k) est vraie pour un entier k≥n0k\geq n_0

On suppose que $$P(k)$$ est vraie pour un entier $$k\geq n_0$$

Explication

L’hypothèse de récurrence suppose la vérité de P(k)P(k) pour un entier fixé tel que k≥n0k\geq n_0. La démonstration de P(k+1)P(k+1) constitue ensuite l’hérédité, et non l’hypothèse elle-même.

6. Quel est le rôle principal de la méthode de récurrence dans l'étude des suites en mathématiques ?

Calculer explicitement la formule générale d'une suite.
Déterminer si une suite est bornée ou non.
Prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang.
Comparer deux suites pour voir laquelle est croissante ou décroissante.

Prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang.

Explication

La méthode de récurrence sert à démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un rang initial. Elle ne sert pas directement à calculer la formule explicite, à déterminer la bornitude ou à comparer deux suites.

7. Pour la suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=5un+4u_{n+1}=5u_n+4, quelle démarche permet de démontrer que un>0u_n>0 pour tout entier naturel nn ?

Montrer que chaque terme est égal à 22 après avoir utilisé la relation de récurrence
Vérifier u0>0u_0>0 puis montrer que uk>0u_k>0 entraîne uk+1>0u_{k+1}>0
Vérifier que u1>0u_1>0 puis déduire la positivité de tous les termes suivants
Calculer quelques termes positifs et considérer que le résultat vaut pour tous les rangs

Vérifier $$u_0>0$$ puis montrer que $$u_k>0$$ entraîne $$u_{k+1}>0$$

Explication

L’initialisation donne u0=2>0u_0=2>0, puis, si uk>0u_k>0, alors uk+1=5uk+4>0u_{k+1}=5u_k+4>0, ce qui établit l’hérédité. La seule vérification de u0>0u_0>0 ou de quelques termes ne constitue pas une démonstration complète.

8. À quel moment la méthode d’étude de la monotonie d’une suite utilise-t-elle principalement la comparaison du quotient un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} à 1 ?

Lorsqu’on cherche à déterminer si la suite est bornée en comparant ses termes à une valeur fixe.
Lorsqu’on veut établir la limite d’une suite en utilisant la méthode de récurrence.
Lorsqu’on compare directement deux termes consécutifs de la suite pour voir s’ils sont égaux.
Lorsqu’on étudie si la suite est croissante ou décroissante en supposant que tous les termes sont positifs.

Lorsqu’on étudie si la suite est croissante ou décroissante en supposant que tous les termes sont positifs.

Explication

La comparaison du quotient un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} à 1 est utilisée pour analyser le sens de variation d’une suite positive, afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante. La comparaison avec une valeur fixe n’est pas directement liée à cette méthode, qui se concentre sur le rapport entre termes successifs.

9. En quoi la notion de suite majorée diffère-t-elle de celle de suite bornée ?

Une suite majorée est toujours croissante, alors qu'une suite bornée peut être croissante ou décroissante.
Une suite majorée est définie par une relation de récurrence, alors qu'une suite bornée ne l'est pas.
Une suite majorée est limitée en dessous, alors qu'une suite bornée n'a pas nécessairement de limite.
Une suite majorée possède un plafond, tandis qu'une suite bornée possède à la fois un plafond et un plancher.

Une suite majorée possède un plafond, tandis qu'une suite bornée possède à la fois un plafond et un plancher.

Explication

Une suite majorée est limitée par un plafond M, ce qui signifie que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à M. Une suite bornée doit être à la fois majorée et minorée, possédant ainsi un plafond et un plancher.

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Qu'est-ce qu'une propriété mathématique P(n) ?

Une phrase avec un verbe vraie ou fausse concernant un entier naturel n.

Principe du raisonnement par récurrence

Démontre qu'une propriété est vraie pour tout n ≥ n₀.

Quelles sont les trois étapes d'une démonstration par récurrence ?

Initialiser P(n₀), supposer P(k), démontrer P(k+1), puis conclure.

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