Fiche de révision : Symétries du plan

📋 Plan du Cours

1. Définition de la symétrie axiale
2. Constructions de symétriques axiaux
3. Axes des figures usuelles
4. Symétrie centrale et constructions
5. Conservations et comparaison

📖 1. Définition de la symétrie axiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie axiale : Transformation du plan qui correspond à un pliage le long de cette droite.

★ À maîtriser

📌 Pour un point A n’appartenant pas à l’axe (d), son symétrique A′ est tel que (d) est la médiatrice du segment [AA′].

• La droite (d) est la médiatrice de [AA′] lorsqu’elle est perpendiculaire à [AA′] et passe par son milieu H.

Compléments

📌 Tout point A situé sur l’axe de symétrie est invariable, car son symétrique est lui-même : A′ = A.

💡 Astuce mémo

Un pliage du plan le long de l’axe fait coïncider les deux moitiés.

📖 2. Constructions de symétriques axiaux

★ À maîtriser

• Sur un quadrillage, on construit le symétrique d’un point en comptant le nombre de carreaux perpendiculairement à l’axe, puis en reportant exactement ce nombre de carreaux de l’autre côté de l’axe.

• À l’équerre et au compas, on construit le symétrique A′ en traçant la perpendiculaire à (d) passant par A, en notant H son intersection avec l’axe, puis en reportant la longueur HA de l’autre côté de l’axe.

Compléments

• Au compas seul, on choisit deux points distincts M et N sur l’axe, puis l’intersection des arcs centrés en M et N, de rayons MA et NA, donne le symétrique A′.

💡 Astuce mémo

Perpendiculaire, milieu, report de longueur.

📖 3. Axes des figures usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe de symétrie : Droite (d) d’une figure qui se superpose exactement sur elle-même après pliage le long de (d).

📝 Points essentiels

• Les figures usuelles représentées dans le cours possèdent respectivement 1 axe, 2 axes, 2 axes et 4 axes de symétrie.

📖 4. Symétrie centrale et constructions

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie centrale : Transformation du plan qui correspond à faire un demi-tour de 180° autour de O.

★ À maîtriser

📌 Pour un point A distinct de O, son symétrique A′ est tel que O soit le milieu du segment [AA′].

• Sur un quadrillage, on construit le symétrique A′ de A par rapport à O en reproduisant à partir de O le même déplacement horizontal et vertical que celui allant de A vers O.

Compléments

• Le centre O est invariable par symétrie centrale, car son symétrique est lui-même : O′ = O.

• À la règle et au compas, on construit A′ en traçant la demi-droite [AO), puis en reportant depuis O la longueur OA au-delà de O sur cette demi-droite.

💡 Astuce mémo

Un demi-tour de 180° autour du centre échange A et A′.

📖 5. Conservations et comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de symétrie : Point O d’une figure qui se superpose exactement sur elle-même après un demi-tour autour de O.

★ À maîtriser

• La symétrie axiale et la symétrie centrale sont des isométries, car elles ne déforment pas les figures.

• Les propriétés conservées par les deux symétries sont: les longueurs, les milieux, l’alignement, les mesures des angles, les aires, les périmètres

📌 L’image d’une droite par une symétrie est une droite ; par symétrie centrale, cette droite et son image sont toujours parallèles, tandis que par symétrie axiale une droite qui coupe l’axe le recoupe au même endroit.

Compléments

• Dans les exemples du cours, le segment, le parallélogramme et le cercle possèdent un centre de symétrie.

📌 L’image d’un cercle de centre O et de rayon R est un cercle de centre O′, symétrique de O, et de même rayon R.

💡 Astuce mémo

Axe = médiatrice et miroir ; centre = milieu et demi-tour.

📊 Tableaux de synthèse

Symétrie axiale et symétrie centrale