QCM : Symétries du plan (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle transformation du plan correspond à une symétrie axiale par rapport à une droite $(d)$ ?

Une rotation du plan autour d’un point de $(d)$
Une translation du plan dans la direction de $(d)$
Un pliage du plan le long de la droite $(d)$
Un pliage du plan autour d’un point situé sur $(d)$

Un pliage du plan le long de la droite $(d)$

Explication

La symétrie axiale se définit comme un pliage du plan le long d’une droite appelée axe de symétrie. La rotation autour d’un point décrit plutôt une transformation liée à un centre, et non à un axe droit.

2. Pour un point $A$ qui n’appartient pas à l’axe $(d)$, quelle propriété caractérise son symétrique $A'$ ?

$(d)$ est la médiatrice du segment $[AA']$
$(d)$ contient le point $A$ et le point $A'$
$(d)$ est parallèle au segment $[AA']$ et passe par $A$
$(d)$ contient le milieu de $[AA']$ sans lui être perpendiculaire

$(d)$ est la médiatrice du segment $[AA']$

Explication

L’axe $(d)$ est la médiatrice de $[AA']$, donc il est perpendiculaire au segment et passe par son milieu. Le simple fait de contenir le milieu ne suffit pas à définir une médiatrice.

3. Quelles deux conditions permettent d’affirmer qu’une droite $(d)$ est la médiatrice de $[AA']$ ?

Elle contient $A'$ et forme un angle droit avec un autre segment
Elle est perpendiculaire à $[AA']$ et passe par son milieu $H$
Elle passe par $A$ et vérifie $HA=HA'$
Elle est parallèle à $[AA']$ et passe par son milieu $H$

Elle est perpendiculaire à $[AA']$ et passe par son milieu $H$

Explication

Une médiatrice est une droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu. Le parallélisme ou le passage par une extrémité ne permet pas de conclure qu’il s’agit d’une médiatrice.

4. Sur un quadrillage, comment placer le symétrique d’un point par rapport à un axe ?

Compter les carreaux parallèlement à l’axe puis reporter cette distance dans la même direction
Reporter un nombre de carreaux choisi pour que le point reste dans la même colonne
Compter les carreaux perpendiculairement à l’axe puis reporter cette distance de l’autre côté
Compter les carreaux jusqu’à l’extrémité de l’axe puis les reporter de l’autre côté

Compter les carreaux perpendiculairement à l’axe puis reporter cette distance de l’autre côté

Explication

La distance au pliage se mesure perpendiculairement à l’axe et doit être conservée de l’autre côté. Un déplacement parallèle à l’axe ne respecte pas la construction du symétrique.

5. Quelle construction à l’équerre et au compas permet d’obtenir le symétrique $A'$ d’un point $A$ par rapport à $(d)$ ?

Tracer une parallèle à $(d)$ par $A$, choisir $H$ sur cette parallèle, puis reporter $AH$
Tracer la perpendiculaire à $(d)$ par $A$, noter son intersection $H$, puis reporter $HA$ de l’autre côté
Tracer deux cercles centrés sur l’axe, puis prendre leur intersection la plus proche de $A$
Tracer une perpendiculaire à $(d)$ par $A$, choisir un point $H$ quelconque, puis reporter une autre longueur

Tracer la perpendiculaire à $(d)$ par $A$, noter son intersection $H$, puis reporter $HA$ de l’autre côté

Explication

La construction impose que $H$ soit l’intersection de la perpendiculaire passant par $A$ avec l’axe, puis que $HA'=HA$. Le point $H$ ne peut donc pas être choisi arbitrairement, et une parallèle à l’axe ne convient pas.

6. Quand une droite $(d)$ est-elle un axe de symétrie d’une figure ?

Lorsque la figure possède un point situé au milieu de $(d)$
Lorsque la figure peut être déplacée parallèlement à $(d)$ sans changer de forme
Lorsque la droite $(d)$ traverse la figure sans la partager en deux parties égales
Lorsque la figure se superpose exactement à elle-même après un pliage le long de $(d)$

Lorsque la figure se superpose exactement à elle-même après un pliage le long de $(d)$

Explication

Un axe de symétrie est une droite selon laquelle le pliage fait coïncider exactement les deux parties de la figure. Une simple intersection avec la figure ou une translation parallèle ne garantit pas cette superposition.

7. Combien d’axes de symétrie possèdent respectivement les quatre figures usuelles étudiées ?

2, 2, 3 et 4 axes
1, 2, 2 et 4 axes
2, 4, 4 et 1 axe
1, 1, 2 et 4 axes

1, 2, 2 et 4 axes

Explication

Les quatre figures usuelles étudiées possèdent respectivement 1, 2, 2 et 4 axes de symétrie. Les autres suites modifient le nombre d’axes associé à au moins une figure.

8. Quelle transformation décrit la symétrie centrale de centre O ?

Un demi-tour de 180° autour de O
Un pliage du plan suivant une droite
Une translation dans une direction donnée
Une rotation d’un quart de tour autour de O

Un demi-tour de 180° autour de O

Explication

La symétrie centrale consiste à effectuer un demi-tour, soit une rotation de 180°, autour du centre O. Le pliage suivant une droite correspond à la symétrie axiale, et non à la symétrie centrale.

9. Dans une symétrie centrale de centre O, quelle propriété relie un point A à son image A′ lorsqu'A est distinct de O ?

O est le milieu du segment [AA′]
O est une extrémité du segment [AA′]
A et A′ sont situés à la même distance d’un axe
La droite passant par A et A′ est perpendiculaire à une droite fixe

O est le milieu du segment [AA′]

Explication

Le centre O se trouve au milieu de [AA′], ce qui signifie qu'A, O et A′ sont alignés et qu'OA = OA′. La propriété d’une médiatrice et d’un axe concerne la symétrie axiale, pas la symétrie centrale.

10. Sur un quadrillage, comment construire le symétrique A′ d’un point A par rapport à O ?

Reproduire depuis A le déplacement horizontal et vertical allant de O vers A
Reproduire depuis O le déplacement horizontal et vertical allant de A vers O
Déplacer A d’un nombre de cases choisi jusqu’à atteindre le bord du quadrillage
Reporter depuis O la même distance dans une direction perpendiculaire

Reproduire depuis O le déplacement horizontal et vertical allant de A vers O

Explication

Pour construire A′, on reprend à partir de O le même déplacement horizontal et vertical que celui qui mène de A à O. Le déplacement inverse depuis A ou une direction perpendiculaire ne garantit pas qu'O soit le milieu de [AA′].

11. Comment reconnaître qu’un point O est le centre de symétrie d’une figure ?

La figure possède deux côtés de même longueur autour de O
La figure se superpose à elle-même après un demi-tour autour de O
Tous les points de la figure sont à la même distance de O
La figure se superpose à elle-même après un pliage suivant une droite

La figure se superpose à elle-même après un demi-tour autour de O

Explication

O est un centre de symétrie lorsque le demi-tour autour de ce point laisse la figure exactement superposée à elle-même. Un pliage suivant une droite caractérise une symétrie axiale, tandis que les autres propriétés ne suffisent pas à établir l’existence d’un centre.

12. Pourquoi la symétrie axiale et la symétrie centrale sont-elles des isométries ?

Parce qu’elles transforment toute figure en cercle
Parce qu’elles imposent un alignement avec un axe
Parce qu’elles changent les angles en longueurs
Parce qu’elles ne déforment pas les figures

Parce qu’elles ne déforment pas les figures

Explication

Ces deux transformations sont des isométries parce qu’elles préservent la forme des figures sans les déformer. Elles ne transforment pas systématiquement les figures en cercles et ne remplacent pas les angles par des longueurs.

13. Laquelle de ces listes regroupe des éléments conservés par les symétries axiale et centrale ?

Les aires, les périmètres, les orientations, les coordonnées et les distances à un axe
Les angles, les périmètres, les couleurs, les milieux et les coordonnées
Les longueurs, les milieux, l’alignement, les angles, les aires et les périmètres
Les longueurs, les directions, les volumes, les aires et les positions absolues

Les longueurs, les milieux, l’alignement, les angles, les aires et les périmètres

Explication

Les deux symétries conservent les longueurs, les milieux, l’alignement, les mesures des angles, les aires et les périmètres. Les coordonnées, les couleurs ou les positions absolues ne constituent pas la liste des propriétés géométriques conservées donnée ici.

14. Une droite ne passant pas par le centre d’une symétrie centrale est transformée en quelle sorte de droite par rapport à la droite initiale ?

Une droite qui coupe la droite initiale au centre
Une droite perpendiculaire à la droite initiale
Une droite confondue avec la droite initiale dans tous les cas
Une droite parallèle à la droite initiale

Une droite parallèle à la droite initiale

Explication

Par symétrie centrale, l’image d’une droite est une droite parallèle à la droite initiale, lorsque celle-ci ne passe pas par le centre. La possibilité de se couper sur l’axe concerne la symétrie axiale, et une droite passant par le centre peut être confondue avec son image.

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Qu'est-ce que la symétrie axiale par rapport à une droite (d) ?

C'est la transformation du plan correspondant à un pliage le long de (d).

Quelle est la propriété du segment [AA′] pour un point A hors de l'axe (d) ?

La droite (d) est la médiatrice du segment [AA′].

Que signifie que la droite (d) soit la médiatrice de [AA′] ?

Elle est perpendiculaire à [AA′] et passe par son milieu H.

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