Fiche de révision : Systèmes optiques et stigmatisme

📋 Plan du Cours

1. Objets et images optiques
2. Stigmatisme et qualité des images
3. Dioptre plan et approximation de Gauss
4. Lames et prismes
5. Dioptre sphérique et conjugaison
6. Foyers et grandissements
7. Miroirs sphériques

📖 1. Objets et images optiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Objet lumineux : Ensemble de points sources qui émettent de la lumière.
• Système optique : Ensemble de milieux transparents séparés par des surfaces dioptriques ou réfléchissantes.
• Image optique : L’image A′ d’un point A est le point où convergent les rayons issus de A ou le point d’où semblent s’écarter les rayons après le système optique.

★ À maîtriser

• Une source primaire produit elle-même la lumière, tandis qu’une source secondaire renvoie la lumière reçue.

• Une image réelle est traversée par la lumière et peut être visualisée sur un écran, tandis qu’une image virtuelle est le point d’où semblent provenir les rayons émergents.

• Un faisceau émergent convergent correspond à une image réelle, tandis qu’un faisceau émergent divergent correspond à une image virtuelle.

Compléments

📌 Un système dioptrique ne comporte que des dioptres, un système catoptrique que des surfaces réfléchissantes et un système catadioptrique combine les deux.

📌 Un objet réel est le point d’où provient réellement la lumière, tandis qu’un objet virtuel est le point de rencontre d’un faisceau convergent coupé par le système optique.

• Un objet virtuel peut produire une image réelle et un objet réel peut produire une image virtuelle.

💡 Astuce mémo

L’image réelle reçoit effectivement la lumière ; l’image virtuelle semble en être issue.

📖 2. Stigmatisme et qualité des images

🔑 Notions clés & Définitions

• Stigmatisme : Système optique dans lequel chaque point objet A correspond à un unique point image A′, appelé point conjugué.
• Stigmatisme rigoureux : Stigmatisme dans lequel tous les rayons issus de A et traversant le système optique passent par A′.
• Aplanétisme : Condition imposant qu’un objet plan perpendiculaire à l’axe optique donne une image plane elle aussi perpendiculaire à cet axe.

★ À maîtriser

📌 Un système totalement astigmate ne forme aucune image d’un point, tandis qu’un système à stigmatisme approché forme une petite tache autour de l’image idéale.

Compléments

📐 Formule - En stigmatisme rigoureux, le chemin optique entre A et A′ est stationnaire : $\mathcal{L}_{AA'}=\text{cte}$.

• En stigmatisme rigoureux, le temps de parcours des photons de A à A′ est identique quel que soit le trajet emprunté dans le système.

• Le stigmatisme approché dégrade la netteté et la définition des bords de l’image.

• La sélection d’une partie des rayons par un filtre spatial, tel qu’un diaphragme ou une pupille photographique, améliore le stigmatisme et la résolution optique.

💡 Astuce mémo

Rigoureux : un point ; approché : une petite tache.

📖 3. Dioptre plan et approximation de Gauss

★ À maîtriser

• Un dioptre plan n’est pas rigoureusement stigmatique pour un point objet quelconque.

• Dans les conditions de Gauss, les rayons lumineux sont faiblement inclinés par rapport à l’axe optique et les angles sont petits.

📐 Formule - Pour un dioptre plan dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison est $\overline{HA'}=\overline{HA}\frac{n_2}{n_1}$.

Compléments

• Un dioptre plan est rigoureusement stigmatique pour les points situés sur sa surface et pour les points à l’infini.

📐 Formule - Pour un dioptre plan, la position de l’image vérifie $\overline{HA'}=\overline{HA}\frac{n_2}{n_1}\sqrt{\frac{1-(\frac{n_1}{n_2})^2\sin^2 i_1}{1-\sin^2 i_1}}$.

• Dans l’approximation de Gauss, un dioptre plan donne d’un point objet une image quasi-ponctuelle.

📐 Formule - Pour un objet parallèle à la surface du dioptre plan, le grandissement est $\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=1$.

• Pour un objet perpendiculaire à la surface du dioptre plan, le grandissement n’est pas égal à 1.

• Pour un dioptre air-eau, un bâton immergé apparaît brisé et une piscine paraît moins profonde qu’elle ne l’est réellement.

• Comme les grandissements diffèrent selon l’orientation, les objets volumiques observés à travers un dioptre plan apparaissent déformés.

💡 Astuce mémo

Petits angles → relation simplifiée → image quasi-ponctuelle.

📖 4. Lames et prismes

🔑 Notions clés & Définitions

• Lame à faces parallèles : Milieu transparent homogène limité par deux surfaces planes parallèles.
• Prisme : Milieu transparent homogène d’indice n limité par deux faces non parallèles formant un angle A.

★ À maîtriser

• L’indice de réfraction du prisme dépend de la longueur d’onde, ce qui permet au prisme de disperser la lumière par double réfraction.

Compléments

📌 Une lame d’indice n séparant deux milieux d’indices différents dévie le rayon émergent, tandis qu’une lame plongée dans un milieu d’indice n₁ ne fait que le translater.

📌 La déviation est plus grande pour la lumière violette que pour la lumière rouge à travers un prisme.

• La dépendance de l’indice de l’eau à la longueur d’onde permet d’observer la dispersion dans les arcs-en-ciel, où plusieurs arcs peuvent coexister à différents angles.

💡 Astuce mémo

Faces parallèles : déviation ou translation ; faces inclinées : dispersion.

📖 5. Dioptre sphérique et conjugaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Vergence : La vergence d’un dioptre, notée Φ, est la grandeur définie par la relation $\Phi=\frac{n'-n}{R}=\frac{n'}{f'}=-\frac{n}{f}$.

★ À maîtriser

• Un dioptre sphérique ne satisfait pas rigoureusement la condition de stigmatisme, sauf pour les points de Young-Weierstrass.

📐 Formule - Dans l’approximation de Gauss, la loi de réfraction du dioptre sphérique devient $n_1 i_1=n_2 i_2$.

📐 Formule - La relation de conjugaison d’un dioptre sphérique est $\frac{n'}{p'}-\frac{n}{p}=\frac{n'-n}{R}=\frac{n'}{f'}=-\frac{n}{f}=\Phi$.

Compléments

• Dans la relation de conjugaison, p=SA, p′=SA′ et R=SC sont les positions algébriques de l’objet, de l’image et du centre du dioptre.

• La vergence s’exprime en dioptries, de symbole δ, et est homogène à m⁻¹.

📌 Un dioptre de vergence positive est convergent, tandis qu’un dioptre de vergence négative est divergent.

📖 6. Foyers et grandissements

🔑 Notions clés & Définitions

• Foyers secondaires : Points de croisement de rayons parallèles entre eux qui traversent un dioptre sans être parallèles à l’axe optique.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le grandissement transversal est $\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{p'-R}{p-R}=\frac{np'}{n'p}=-\frac{fp'}{f'p}$.

Compléments

• Avec la condition d’aplanétisme, les foyers secondaires forment des plans focaux objet et image perpendiculaires à l’axe optique.

📐 Formule - Le grandissement longitudinal vérifie $g=\frac{dp'}{dp}=\frac{n'}{n}\gamma^2$.

📖 7. Miroirs sphériques

★ À maîtriser

• Pour appliquer aux miroirs sphériques les relations de conjugaison des dioptres, on prend un indice image négatif tel que n′=−n.

📐 Formule - Pour un miroir sphérique, les distances focales objet et image sont égales à la moitié du rayon : $f=f'=\frac{R}{2}$.

Compléments

• Dans un miroir sphérique, les foyers objet et image sont confondus, donc F=F′.