Fiche de révision : Automatique et transformée de Laplace

📋 Plan du Cours

1. Principes de l’asservissement
2. Boucles et modèles de transfert
3. Transformée de Laplace et signaux
4. Propriétés et impédances électriques
5. Fonctions de transfert des circuits

📖 1. Principes de l’asservissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Système automatique : Système bouclé et corrigé qui remplace la personne dans les tâches de capteur, de réflexion et d’action.

★ À maîtriser

• Dans un asservissement, la consigne est comparée à la valeur réelle captée pour produire une erreur, que le correcteur utilise afin de commander l’actionneur et le système.

📌 En régulation, la consigne est constante et la sortie doit rester constante et égale à celle-ci malgré les perturbations, tandis qu’en poursuite la consigne varie et la sortie doit la suivre.

Compléments

• Le correcteur vise à réduire ou éliminer l’effet des perturbations avec rapidité, précision et stabilité.

• La poursuite peut concerner le suivi du cœur par un radar, d’une trajectoire par un robot ou le fonctionnement d’un robot chirurgical.

📖 2. Boucles et modèles de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : La fonction de transfert, ou transmittance, est le rapport de la sortie à l’entrée dans le domaine de Laplace : $F(p)=\frac{S(p)}{E(p)}$.

★ À maîtriser

📌 Un asservissement fonctionne en boucle fermée, tandis que la boucle ouverte est utilisée pour faciliter l’étude en remplaçant chaque bloc par une fonction de transfert.

Compléments

• Chaque bloc d’un système est représenté par une fonction de transfert qui relie sa variable d’entrée à sa variable de sortie.

• L’asservissement de la température d’une couveuse néonatale utilise une résistance chauffante, un hacheur et un capteur de température réelle pour la comparer à la consigne.

• Dans un asservissement hydraulique de niveau, une fuite constitue une perturbation et une électrovanne commande le réservoir à partir de la consigne et du niveau capté.

• Dans un asservissement de position électrique, un moteur actionne le robot et un capteur de position mesure la position réelle à comparer à la consigne.

📌 La vitesse est la dérivée de la position.

💡 Astuce mémo

BO pour simplifier l’étude, BF pour asservir

📖 3. Transformée de Laplace et signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : La transformée de Laplace d’une fonction temporelle est définie par $F(p)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}\,dt$.

★ À maîtriser

• En automatique, la transformée de Laplace permet de passer d’une équation différentielle temporelle à une fonction de transfert dans le domaine fréquentiel.

📐 Formule - La pulsation et la fréquence sont liées par $\omega=2\pi f$.

📐 Formule - La transformée de Laplace de l’échelon unitaire, nul pour t<0 et égal à 1 pour t≥0, est $\frac{1}{p}$.

Compléments

📐 Formule - La variable de Laplace est liée à la pulsation et à la fréquence par $p=j\omega=j2\pi f$, avec $j^2=-1$.

📐 Formule - L’angle correspondant à une pulsation constante vérifie $\theta=\omega t$.

📐 Formule - Pour une période T, l’angle parcouru est $\theta=2\pi$ et la pulsation vaut $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

📐 Formule - Les transformées usuelles sont $e^{at}\mapsto\frac{1}{p-a}$, $\sin(\omega t)\mapsto\frac{\omega}{p^2+\omega^2}$ et $\cos(\omega t)\mapsto\frac{p}{p^2+\omega^2}$.

📐 Formule - La transformée de Laplace de l’exponentielle décroissante est $\mathcal{L}(e^{-at})=\frac{1}{p+a}$.

📖 4. Propriétés et impédances électriques

★ À maîtriser

📌 La transformée de Laplace est linéaire : si $f(t)\mapsto F(p)$, alors $af(t)\mapsto aF(p)$ pour une constante réelle a.

📐 Formule - La transformée de la dérivée vérifie $\mathcal{L}\{f'(t)\}=pF(p)-f(0)$.

📐 Formule - L’impédance d’une résistance est $Z_R(p)=R$.

📐 Formule - L’impédance d’un condensateur est $Z_C(p)=\frac{1}{Cp}$.

📐 Formule - L’impédance d’une bobine est $Z_L(p)=Lp$.

Compléments

📐 Formule - La transformée d’un échelon d’amplitude E est $\frac{E}{p}$.

• Si la condition initiale est nulle, la transformée de la dérivée devient $pF(p)$.

📐 Formule - L’intégration temporelle correspond à une division par p dans le domaine de Laplace : $\int f(t)\,dt\mapsto\frac{F(p)}{p}$.

📖 5. Fonctions de transfert des circuits

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un circuit RLC série dont la sortie est prise aux bornes du condensateur, la fonction de transfert est $F(p)=\frac{1}{1+RCp+LCp^2}$.

Compléments

📐 Formule - Dans un circuit série, la sortie aux bornes du condensateur vérifie $S(p)=\frac{Z_C}{Z_R+Z_L+Z_C}E(p)$.

📐 Formule - Pour le circuit LC indiqué, la fonction de transfert donnée est $F(p)=\frac{1}{1+(Cp)^2}$.

• Le nombre total d’inductances et de condensateurs détermine l’ordre du circuit.

📐 Formule - Pour le moteur présenté, la vitesse de rotation est donnée par $\Omega=\beta\omega$, avec $0<\omega<U_0$ et $U_0$ constant.

📐 Formule - La puissance dissipée dans la résistance chauffante s’écrit $P=UI=\frac{U^2}{R}$.