Fiche de révision : Systèmes oscillants et résonance

📋 Plan du Cours

1. Oscillateur harmonique et grandeur vibrante
2. Période fréquence et signaux sinusoïdaux
3. Régimes des oscillations libres
4. Pendule élastique et amortissement
5. Circuit RLC et régimes électriques
6. Énergies mécaniques et électriques
7. Sismomètre et induction électromagnétique
8. Oscillations forcées et résonance
9. Courbes et facteur de qualité
10. Mesures expérimentales et incertitudes

📖 1. Oscillateur harmonique et grandeur vibrante

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur harmonique : Système vibrant dont une grandeur caractéristique évolue périodiquement autour d’une position d’équilibre.

📝 Points essentiels

• Pour osciller, un système a besoin d’une source d’énergie.

💡 Astuce mémo

Un système revient périodiquement autour d’une position d’équilibre.

📖 2. Période fréquence et signaux sinusoïdaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Période : Temps au bout duquel un phénomène se reproduit identiquement et durée d’une oscillation.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fréquence est l’inverse de la période : $f=\frac{1}{T}$, avec T en seconde et f en hertz.

💡 Astuce mémo

La période mesure un temps, tandis que la fréquence compte les oscillations par seconde.

📖 3. Régimes des oscillations libres

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillations libres : Produites par un système qui évolue sans contrainte extérieure après une perturbation initiale.

📝 Points essentiels

📌 Le régime périodique idéal possède une amplitude constante et une période égale à la période propre T₀, tandis que le régime pseudo-périodique possède généralement une amplitude décroissante et une pseudo-période voisine de T₀.

📌 Le régime critique correspond à l’amortissement juste suffisant pour revenir à l’équilibre sans vibrer et avec le retour le plus rapide.

💡 Astuce mémo

Périodique → pseudo-périodique → critique → apériodique.

📖 4. Pendule élastique et amortissement

📝 Points essentiels

📐 Formule — La période propre d’un pendule élastique peu amorti est $T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

• L’amplitude d’un oscillateur amorti décroît au cours du temps à cause des frottements mécaniques ou de l’effet Joule dans un oscillateur électrique.

💡 Astuce mémo

Frottements → perte d’énergie → amplitude décroissante.

📖 5. Circuit RLC et régimes électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit RLC : Association en série d’une bobine d’inductance L, d’un condensateur de capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance R.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La période propre d’un circuit LC idéal est $T_0=2\pi\sqrt{LC}$.

• Les régimes observés sont:
  • pseudo-périodique pour R=100 Ω
  • périodique pour R=575 Ω
  • apériodique pour R=2 kΩ

💡 Astuce mémo

Faible résistance : oscillations pseudo-périodiques ; forte résistance : régime apériodique.

📖 6. Énergies mécaniques et électriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’énergie cinétique d’une masse en mouvement est $E_c=\frac{1}{2}mv^2$.

📐 Formule — L’énergie potentielle élastique d’un ressort est $E_{pe}=\frac{1}{2}kx^2$.

📐 Formule — L’énergie électromagnétique d’un circuit RLC est $E_{em}=\frac{1}{2}Cu_c^2+\frac{1}{2}Li^2$.

📌 En présence d’une résistance, l’énergie électromagnétique diminue au cours du temps et se transforme en chaleur par effet Joule.

💡 Astuce mémo

Énergie cinétique ↔ potentielle ; énergie électrique ↔ magnétique.

📖 7. Sismomètre et induction électromagnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Sismomètre : Instrument qui détecte et mesure les vibrations du sous-sol afin d’enregistrer un sismogramme.
• Induction électromagnétique : L’induction électromagnétique produit une tension induite lorsqu’un aimant se déplace par rapport à une bobine.

📝 Points essentiels

• 🔄 Le fonctionnement repose sur la séquence suivante: le bâti bouge avec le sol, la masse reste presque immobile par inertie, le déplacement relatif de la masse est détecté

💡 Astuce mémo

Secousse du bâti → inertie de la masse → déplacement mesuré.

📖 8. Oscillations forcées et résonance

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillations forcées : Un oscillateur soumis à des oscillations forcées oscille à la fréquence de l’excitateur et se comporte comme un résonateur.
• Résonance mécanique : Phénomène apparaissant lorsque la fréquence de l’excitateur est proche de la fréquence propre du système et que l’amplitude augmente fortement.

📝 Points essentiels

• Pour le système étudié, la fréquence de résonance vaut fr=2,55 Hz, tandis que la fréquence propre vaut f0=2,61 Hz.

💡 Astuce mémo

L’excitateur impose sa fréquence au résonateur, mais l’amplitude maximale apparaît près de la fréquence propre.

📖 9. Courbes et facteur de qualité

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le facteur de qualité est défini par $Q=\frac{f_0}{\Delta f}$, avec $\Delta f=f_2-f_1$.

📌 La largeur de bande passante à -3 dB est l’intervalle entre les fréquences f1 et f2 pour lesquelles l’intensité vaut $I=\frac{I_0}{\sqrt{2}}=0{,}707I_0$.

💡 Astuce mémo

Bande passante étroite → facteur de qualité élevé → résonance aiguë.

📖 10. Mesures expérimentales et incertitudes

📝 Points essentiels

• La période expérimentale est déterminée en mesurant la durée de plusieurs périodes puis en divisant cette durée par leur nombre.

📐 Formule — Le modèle théorique d’une oscillation amortie peut s’écrire $y=Y_m\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\cos(2\pi f_0t+\varphi)$, où τ est le temps caractéristique d’amortissement.

💡 Astuce mémo

Acquérir → modéliser → mesurer la période → comparer à la théorie.

📊 Tableaux de synthèse

Régimes d’oscillation

Énergies du circuit RLC