QCM : Tableau des dérivées — 10 questions

Question 1

1. Pour la fonction définie par $f(x)=x^5$ , quelle est l’expression de sa dérivée ?

f'(x)=4x^5

f'(x)=x^4

f'(x)=5x^4

f'(x)=5x^5

Explication

La règle de dérivation de $x^n$ donne $nx^{n-1}$ , donc la dérivée de $x^5$ est $5x^4$ . L’expression $x^4$ oublie le facteur correspondant à l’exposant.

Answer

$$f'(x)=5x^4$$

Question 2

2. Pour $x>0$ , quelle expression donne la dérivée de $f(x)=\sqrt{x}$ ?

f'(x)=\frac{\sqrt{x}}{2}

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}

f'(x)=2\sqrt{x}

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Explication

Pour un réel strictement positif, la dérivée de $\sqrt{x}$ vaut $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . L’expression $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ne comporte pas le facteur $\frac{1}{2}$ requis.

Answer

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Question 3

3. Sur l’intervalle $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ , quelle est la dérivée de $f(x)=\tan(x)$ ?

f'(x)=\frac{1}{1+\tan^2(x)}

f'(x)=1+\tan^2(x)

f'(x)=1-\tan^2(x)

f'(x)=\tan(x)

Explication

La dérivée de la tangente sur cet intervalle est $1+\tan^2(x)$ . La forme $1-\tan^2(x)$ correspond à une confusion de signe et ne donne pas la dérivée de la tangente.

Answer

$$f'(x)=1+\tan^2(x)$$

Question 4

4. Si $g(x)=\tan(x)$ et $x=\frac{\pi}{4}$ , quelle valeur prend $g'(x)$ ?

2

0

1

\frac{1}{2}

Explication

On utilise $g'(x)=1+\tan^2(x)$ et $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$ , ce qui donne $g'\left(\frac{\pi}{4}\right)=2$ . La valeur $1$ correspondrait à l’oubli du terme $\tan^2(x)$ .

Answer

$$(u+v)'=u'+v'$$

Answer

$$\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$$

Answer

$$\frac{2x}{x^2+1}$$

Answer

$$\frac{3x}{\sqrt{3x^2+4}}$$

Answer

$$\frac{10x}{5x^2-1}$$

Answer

$$(3x^2-2)e^{x^3-2x}$$

Question 5

5. Si $u$ et $v$ sont dérivables, quelle règle permet de dériver leur somme ?

(u+v)'=u'+v

(u+v)'=u'+v'

(u+v)'=uv'+u'v

(u+v)'=u'v'

Explication

La dérivée d’une somme s’obtient en additionnant les dérivées des deux fonctions, soit $(u+v)'=u'+v'$ . L’expression $uv'+u'v$ est la règle du produit, pas celle de la somme.

Question 6

6. Si $v$ ne s’annule pas et est dérivable, quelle est la dérivée de $\frac{1}{v}$ ?

\left(\frac{1}{v}\right)'=\frac{v'}{v^2}

\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}

\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{1}{v'}

\left(\frac{1}{v}\right)'=\frac{v^2}{v'}

Explication

La dérivée de l’inverse de $v$ est $-\frac{v'}{v^2}$ lorsque $v$ ne s’annule pas. Le signe positif dans $\frac{v'}{v^2}$ constitue l’erreur la plus courante dans cette règle.

Question 7

7. Si $f(x)=x^2+1$ et $g(x)=\ln(x)$ , quelle est la dérivée de la fonction composée $g\circ f$ ?

2x\ln(x^2+1)

\frac{2x}{x^2+1}

\ln(2x+1)

\frac{1}{2(x^2+1)}

Explication

La règle de dérivation d’une composée donne $(g\circ f)'(x)=f'(x)g'(f(x))$ , soit $2x\times\frac{1}{x^2+1}$ . L’expression $\frac{1}{2(x^2+1)}$ ne tient pas compte correctement de la dérivée de la fonction intérieure.

Question 8

8. Pour $u(x)=3x^2+4$ , quelle est la dérivée de $\sqrt{u(x)}=\sqrt{3x^2+4}$ ?

6x\sqrt{3x^2+4}

\frac{1}{2\sqrt{3x^2+4}}

\frac{3x}{\sqrt{3x^2+4}}

\frac{6x}{\sqrt{3x^2+4}}

Explication

La dérivée d’une racine composée est $\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ ; ici, $u'(x)=6x$ , ce qui se simplifie en $\frac{3x}{\sqrt{3x^2+4}}$ . L’expression $\frac{6x}{\sqrt{3x^2+4}}$ oublie le facteur $2$ du dénominateur.

Question 9

9. Quelle est la dérivée de $\ln(5x^2-1)$ sur un intervalle où $5x^2-1>0$ ?

\frac{5x}{5x^2-1}

\frac{1}{5x^2-1}

\ln(10x)

\frac{10x}{5x^2-1}

Explication

La règle $\bigl(\ln(u(x))\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}$ donne ici $\frac{10x}{5x^2-1}$ . L’expression $\frac{5x}{5x^2-1}$ provient d’une dérivation incomplète de la fonction intérieure.

Question 10

10. Quelle est la dérivée de la fonction $h(x)=e^{x^3-2x}$ ?

(x^3-2x)e^{x^3-2x}

(3x^2-2)e^{x^3-2x}

e^{3x^2-2x}

3x^2e^{x^3-2x}

Explication

La dérivée d’une exponentielle composée est $u'(x)e^{u(x)}$ ; avec $u(x)=x^3-2x$ , on obtient $u'(x)=3x^2-2$ . L’expression $3x^2e^{x^3-2x}$ néglige la dérivée du terme $-2x$ .

QCM : Tableau des dérivées — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour la fonction définie par $f(x)=x^5$ , quelle est l’expression de sa dérivée ?

2. Pour $x>0$ , quelle expression donne la dérivée de $f(x)=\sqrt{x}$ ?

3. Sur l’intervalle $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ , quelle est la dérivée de $f(x)=\tan(x)$ ?

4. Si $g(x)=\tan(x)$ et $x=\frac{\pi}{4}$ , quelle valeur prend $g'(x)$ ?

5. Si $u$ et $v$ sont dérivables, quelle règle permet de dériver leur somme ?

6. Si $v$ ne s’annule pas et est dérivable, quelle est la dérivée de $\frac{1}{v}$ ?

7. Si $f(x)=x^2+1$ et $g(x)=\ln(x)$ , quelle est la dérivée de la fonction composée $g\circ f$ ?

8. Pour $u(x)=3x^2+4$ , quelle est la dérivée de $\sqrt{u(x)}=\sqrt{3x^2+4}$ ?

9. Quelle est la dérivée de $\ln(5x^2-1)$ sur un intervalle où $5x^2-1>0$ ?

10. Quelle est la dérivée de la fonction $h(x)=e^{x^3-2x}$ ?

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QCM : Tableau des dérivées — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour la fonction définie par f(x)=x5f(x)=x^5f(x)=x5, quelle est l’expression de sa dérivée ?

2. Pour x>0x>0x>0, quelle expression donne la dérivée de f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ ?

3. Sur l’intervalle ]−π2;π2[]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[]−2π​;2π​[, quelle est la dérivée de f(x)=tan⁡(x)f(x)=\tan(x)f(x)=tan(x) ?

4. Si g(x)=tan⁡(x)g(x)=\tan(x)g(x)=tan(x) et x=π4x=\frac{\pi}{4}x=4π​, quelle valeur prend g′(x)g'(x)g′(x) ?

5. Si uuu et vvv sont dérivables, quelle règle permet de dériver leur somme ?

6. Si vvv ne s’annule pas et est dérivable, quelle est la dérivée de 1v\frac{1}{v}v1​ ?

7. Si f(x)=x2+1f(x)=x^2+1f(x)=x2+1 et g(x)=ln⁡(x)g(x)=\ln(x)g(x)=ln(x), quelle est la dérivée de la fonction composée g∘fg\circ fg∘f ?

8. Pour u(x)=3x2+4u(x)=3x^2+4u(x)=3x2+4, quelle est la dérivée de u(x)=3x2+4\sqrt{u(x)}=\sqrt{3x^2+4}u(x)​=3x2+4​ ?

9. Quelle est la dérivée de ln⁡(5x2−1)\ln(5x^2-1)ln(5x2−1) sur un intervalle où 5x2−1>05x^2-1>05x2−1>0 ?

10. Quelle est la dérivée de la fonction h(x)=ex3−2xh(x)=e^{x^3-2x}h(x)=ex3−2x ?

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1. Pour la fonction définie par $f(x)=x^5$ , quelle est l’expression de sa dérivée ?

2. Pour $x>0$ , quelle expression donne la dérivée de $f(x)=\sqrt{x}$ ?

3. Sur l’intervalle $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ , quelle est la dérivée de $f(x)=\tan(x)$ ?

4. Si $g(x)=\tan(x)$ et $x=\frac{\pi}{4}$ , quelle valeur prend $g'(x)$ ?

5. Si $u$ et $v$ sont dérivables, quelle règle permet de dériver leur somme ?

6. Si $v$ ne s’annule pas et est dérivable, quelle est la dérivée de $\frac{1}{v}$ ?

7. Si $f(x)=x^2+1$ et $g(x)=\ln(x)$ , quelle est la dérivée de la fonction composée $g\circ f$ ?

8. Pour $u(x)=3x^2+4$ , quelle est la dérivée de $\sqrt{u(x)}=\sqrt{3x^2+4}$ ?

9. Quelle est la dérivée de $\ln(5x^2-1)$ sur un intervalle où $5x^2-1>0$ ?

10. Quelle est la dérivée de la fonction $h(x)=e^{x^3-2x}$ ?