Fiche de révision : TAGE MAGE Calcul et taux d’intérêt

📋 Plan du Cours

1. Intérêts simples et capital constant
2. Hausses et baisses successives
3. Rattraper une perte
4. Retrouver un capital ou un taux
5. Taux périodiques et taux annuels
6. Portefeuilles pondérés
7. Enchaînements de taux complexes
8. Données manquantes et équations

📖 1. Intérêts simples et capital constant

📝 Points essentiels

• Lorsque les intérêts annuels sont dépensés, le capital reste constant et le même montant d’intérêts est obtenu chaque année.

• Pour un capital de 125 000 € placé à 6 % par an pendant 5 ans, avec des intérêts dépensés chaque année, les intérêts dépensés totalisent 37 500 €.

💡 Astuce mémo

Intérêts dépensés : capital constant ; intérêts réinvestis : capital croissant.

📖 2. Hausses et baisses successives

★ À maîtriser

📌 Une hausse de 20 % se calcule en multipliant la valeur initiale par 1,20.

📌 Deux hausses successives de 8 % puis 10 % donnent une hausse totale de 18,8 %, et non de 18 %, car la seconde hausse s’applique à une base déjà augmentée.

Compléments

• Une action valant 80 € après une hausse de 20 % vaut 96 €, car $80 \times 1{,}20 = 96$.

💡 Astuce mémo

Base modifiée → pourcentages non additionnables.

📖 3. Rattraper une perte

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour rattraper une perte de x %, la hausse nécessaire est $\frac{x}{100-x}$, exprimée en proportion du prix après la baisse.

• Après une baisse de 25 %, il faut une hausse d’environ 33,3 % pour revenir au prix initial, car 25 € doivent être récupérés sur une base de 75 €.

💡 Astuce mémo

Perdre 25 % sur 100 n’est pas regagner 25 % sur 75.

📖 4. Retrouver un capital ou un taux

📝 Points essentiels

• Deux hausses successives de 4 % produisent une hausse totale de 8,16 % du capital initial.

• Si une obligation rapporte 4 % par an et que le gain après 2 ans est de 816 €, le capital initial est de 10 000 €, car $816 \div 0{,}0816 = 10\,000$.

• Sur deux ans, un résultat global de 1,1664 correspond à un facteur annuel de 1,08, car $1{,}08^2 = 1{,}1664$, soit un taux annuel de 8 %.

💡 Astuce mémo

Gain en euros → pourcentage total → capital initial.

📖 5. Taux périodiques et taux annuels

📝 Points essentiels

📌 Pour convertir un montant versé chaque trimestre en montant annuel, il faut le multiplier par 4, car une année comporte 4 trimestres.

• Une obligation de 1 000 € versant 35 € par trimestre rapporte 140 € par an, soit un taux annuel de 14 %.

💡 Astuce mémo

Trimestre → année : multiplier par 4, puis rapporter au capital.

📖 6. Portefeuilles pondérés

📝 Points essentiels

• La performance d’un portefeuille est la somme des performances de chaque placement pondérées par sa part dans le portefeuille.

• Un portefeuille investi à 50 % à 8 %, à 30 % à 10 % et à 20 % à 4 % réalise une performance de 7,8 %.

• Avec 1 000 € placés à +10 % et 250 € placés à −10 %, la performance globale est de 6 %, car le portefeuille passe de 1 250 € à 1 325 € et gagne 75 €.

💡 Astuce mémo

Poids financiers réels, pas moyenne simple des taux.

📖 7. Enchaînements de taux complexes

★ À maîtriser

• Pour calculer la valeur finale après plusieurs années de taux différents, il faut multiplier successivement le capital par chaque facteur de hausse ou de baisse.

• Un capital de 1 000 € soumis successivement à −20 %, +13 %, −25 %, +25 % et +33,3 % atteint environ 1 130 €.

Compléments

• Dans une suite de variations, on calcule d’abord le facteur cumulé des premières étapes, puis on le compare au facteur final pour déterminer le taux manquant.

💡 Astuce mémo

Facteurs successifs : multiplier étape par étape.

📖 8. Données manquantes et équations

★ À maîtriser

📐 Formule — Après une baisse de 60 % suivie de hausses q et p, si le résultat final est une hausse de 20 %, alors $0{,}40(1+q)(1+p)=1{,}20$ et donc $p+q+pq=2$.

📌 Lorsqu’une répartition contient une donnée vague comme « une bonne partie », le rendement du portefeuille est impossible à déterminer sans connaître la proportion exacte.

📌 Si une performance inconnue r est suivie de la performance opposée exacte pendant une deuxième année, le résultat dépend de r et reste impossible à quantifier sans connaître r, même si l’issue est une perte lorsque r n’est pas nul.

Compléments

• Une suite de variations de +30 %, −20 % puis −x % atteint −0,16 % lorsque x vaut 4 %, car les deux premières variations donnent un facteur de 1,04 et le facteur final est de 0,9984.

💡 Astuce mémo

Donnée vague : impossible à déterminer ; équation complète : transformation algébrique.

📊 Tableaux de synthèse

Types de calculs de taux