Fiche de révision : Calcul et raisonnement quantitatif

📋 Plan du Cours

1. Calcul numérique et divisibilité
2. Puissances pourcentages et proportions
3. Moyennes fractions et vitesses
4. Suites et problèmes de déplacement
5. Géométrie des figures usuelles
6. Angles et théorèmes géométriques
7. Probabilités et dénombrement
8. Comptages combinatoires et figures

📖 1. Calcul numérique et divisibilité

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité de la multiplication sur l’addition s’écrit $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD$.

📌 Un entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 10 s’il se termine par 0.

• Pour calculer le PPCM ou le PGCD par la méthode des diviseurs, on décompose les deux nombres en facteurs premiers, puis on prend respectivement les plus grands exposants pour le PPCM et les plus petits exposants communs pour le PGCD.

• Les propriétés de l’addition sont la commutativité $A+B=B+A$ et l’associativité $(A+B)+C=A+(B+C)$.

Compléments

• Les nombres premiers sont les nombres divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes ; la liste fournie jusqu’à 101 est 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 et 101.

📖 2. Puissances pourcentages et proportions

★ À maîtriser

📐 Formule — Les règles de puissance comprennent $a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, $a^n a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ et $(a^n)^p=a^{np}$.

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📐 Formule — Le taux de variation en pourcentage est $\frac{\text{Valeur arrivée}-\text{Valeur départ}}{\text{Valeur départ}}\times100$.

📐 Formule — Pour une variation en pourcentage, le nouveau total vaut $\text{Ancien total}\times(1\pm\text{Variation en \%})$ et la variation absolue vaut $\text{Total}\times\text{Variation en \%}$.

📐 Formule — Pour un capital initial $K_0$, un taux $r$ et une durée $n$, le capital final vaut $K_n=K_0(1+nr)$ en intérêts simples et $K_n=K_0(1+r)^n$ en intérêts composés.

Compléments

📐 Formule — En proportionnalité simple, quatre grandeurs vérifient $ad=bc$, tandis qu’en proportionnalité multiple le coefficient final est le produit des coefficients intermédiaires.

💡 Astuce mémo

Variation appliquée au capital → intérêts simples ou composés

📖 3. Moyennes fractions et vitesses

★ À maîtriser

📐 Formule — La moyenne arithmétique est $\frac{\text{Somme des termes}}{\text{Nombre de termes}}$ et la moyenne pondérée est $\frac{X_1P_1+X_2P_2+\cdots+X_NP_N}{P_1+P_2+\cdots+P_N}$.

📐 Formule — La moyenne harmonique de valeurs $X_1,\ldots,X_N$ est $\frac{N}{\frac1{X_1}+\frac1{X_2}+\cdots+\frac1{X_N}}$.

📐 Formule — Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents, on utilise $\frac ab\pm\frac cd=\frac{ad\pm cb}{bd}$.

📐 Formule — La division de fractions se calcule par $\frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dc$.

📐 Formule — Lorsque les distances aller et retour sont égales, la vitesse moyenne vaut $\frac{2V_{aller}V_{retour}}{V_{aller}+V_{retour}}$.

Compléments

📐 Formule — La dimension apparente est égale à la dimension réelle multipliée par $\frac{X}{100}$.

💡 Astuce mémo

Moyenne arithmétique pour des valeurs simples, harmonique pour des vitesses

📖 4. Suites et problèmes de déplacement

★ À maîtriser

📐 Formule — Le partage du temps de travail vérifie $\frac1{T_{total}}=\frac1{T_1}+\frac1{T_2}+\cdots+\frac1{T_n}$.

📐 Formule — La somme des N premiers termes d’une suite arithmétique vaut $\frac12\times N\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme})$.

📐 Formule — La somme des N premiers termes d’une suite géométrique de premier terme et de raison q vaut $\text{premier terme}\times\frac{q^N-1}{q-1}$.

📐 Formule — Dans un croisement simultané, la durée avant rencontre vaut $T=\frac{D}{V_1+V_2}$ et les distances parcourues sont $D_1=\frac{V_1}{V_1+V_2}D$ et $D_2=\frac{V_2}{V_1+V_2}D$.

• Dans un problème de rattrapage, on calcule d’abord la distance d’avance, puis l’écart de vitesses, et enfin le temps de rattrapage par $T=D/V$.

Compléments

• Pour compter les éléments entiers entre A et B inclus, avec B supérieur à A, on utilise $B-A+1$.

💡 Astuce mémo

Rattrapage : distance d’avance → écart de vitesses → temps

📖 5. Géométrie des figures usuelles

★ À maîtriser

• La longueur d’un cercle de rayon r est $2\pi r$, son aire est $\pi r^2$, le volume d’une sphère est $\frac43\pi r^3$, celui d’un cône est $\frac13\pi r^2h$ et celui d’un cylindre est $\pi r^2h$.

📐 Formule — L’aire d’un triangle quelconque est $\frac{bh}{2}$, celle d’un triangle équilatéral de côté AB est $\frac{\sqrt3}{4}AB^2$ et celle d’un triangle rectangle de côtés perpendiculaires AB et AC est $\frac{AB\times AC}{2}$.

📐 Formule — L’aire d’un trapèze est $\frac{(B+b)h}{2}$, celle d’un parallélogramme est $bh$, celle d’un losange est $\frac{AC\times BD}{2}$, celle d’un rectangle est $L\times l$ et celle d’un carré est $c^2$.

📐 Formule — Le volume d’une pyramide vaut $\frac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$, celui d’un pavé droit vaut $Llh$ et celui d’un cube de côté c vaut $c^3$.

Compléments

📐 Formule — Un arc de cercle d’angle n en degrés a pour longueur $\frac{2\pi rn}{360}$ et pour aire de secteur $\frac{\pi r^2n}{360}$.

• Un triangle équilatéral possède trois côtés égaux et trois angles de 60°, tandis qu’un triangle rectangle isocèle possède un angle de 90° et deux angles de 45°.

📖 6. Angles et théorèmes géométriques

★ À maîtriser

• La somme des angles intérieurs d’un polygone à N côtés vaut $180°(N-2)$.

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore s’écrit $AB^2+AC^2=BC^2$ lorsque BC est l’hypoténuse.

📐 Formule — Si deux droites sont parallèles dans la configuration de Thalès, les longueurs correspondantes sont proportionnelles, par exemple $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{CB}$.

📌 La réciproque de Pythagore affirme que si $AB^2+AC^2=BC^2$, alors le triangle est rectangle.

Compléments

• Les cinq triangles pythagoriciens sont:
  • (3,4,5)
  • (6,8,10)
  • (9,12,15)
  • (5,12,13)
  • (8,15,17)

💡 Astuce mémo

Pythagore porte sur les carrés des côtés, Thalès sur les rapports de longueurs

📖 7. Probabilités et dénombrement

★ À maîtriser

📐 Formule — Les formules de base sont $p(A)=\frac{\text{cas correspondant à }A}{\text{cas totaux}}$, $p(\overline A)=1-p(A)$ et $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.

📐 Formule — La probabilité conditionnelle d’une intersection vérifie $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$, et si A et B sont indépendants alors $p(A\cap B)=p(A)p(B)$.

• Pour calculer une probabilité par liste des cas, on dénombre les cas favorables, on dénombre les cas totaux, puis on divise les premiers par les seconds.

Compléments

• Pour trois enfants avec deux résultats possibles, le nombre total de cas est $2^3=8$ et les cas correspondant à deux filles et un garçon sont GFF, FGF et FFG, soit une probabilité de $3/8$.

• Pour deux dés, les couples dont la somme vaut 6 sont (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) et (5,1), soit 5 cas favorables sur 36 et une probabilité de $5/36$.

📖 8. Comptages combinatoires et figures

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est $C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$, tandis que le nombre d’arrangements est $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$.

📐 Formule — Le nombre d’anagrammes d’un mot comportant des répétitions est $\frac{\text{nombre total de lettres}!}{(\text{répétition de la lettre 1})!\times\cdots\times(\text{répétition de la lettre n})!}$.

📐 Formule — Dans un tournoi où chaque participant rencontre les autres une fois, le nombre de rencontres par participant est $N-1$ et le nombre total de rencontres est $\frac{N(N-1)}2$.

📐 Formule — Le nombre de poignées de mains, de matchs aller ou de couples parmi N personnes vaut $\frac{N(N-1)}2$, tandis que le nombre de bises ou de matchs aller-retour vaut $N(N-1)$.

📐 Formule — Si un rectangle comporte C colonnes et L lignes de rectangles imbriqués, le nombre total de rectangles est $\frac{C(C+1)L(L+1)}4$.

📐 Formule — Dans un carré comportant n colonnes et n lignes, le nombre total de carrés imbriqués est $\frac{n(n+1)(2n+1)}6$.

📊 Tableaux de synthèse

Formules de déplacement