QCM : Calcul et raisonnement quantitatif — 31 questions

Explication

L’associativité modifie le regroupement des termes sans changer leur ordre. L’égalité $A+B=B+A$ illustre la commutativité, qui concerne l’ordre des termes.

Explication

La distributivité donne $3(x+5)=3x+3\times5=3x+15$. Ajouter directement 5 à $3x$ ne correspond pas à la multiplication de chaque terme par 3.

Explication

Un entier divisible par 10 se termine par 0. Les chiffres 2, 4, 6 et 8 indiquent plutôt une divisibilité par 2, tandis que 5 indique une divisibilité par 5.

Explication

Le PPCM se construit en prenant, pour chaque facteur premier présent, le plus grand exposant rencontré. Les plus petits exposants communs servent au calcul du PGCD.

Explication

Lors d’une multiplication de puissances de même base, les exposants s’additionnent, donc $a^3a^5=a^{3+5}=a^8$. Le produit des exposants s’applique à une puissance d’une puissance, comme $(a^3)^5$.

Explication

Le carré d’une différence contient le terme central négatif $-2ab$. L’expression $a^2+2ab+b^2$ correspond au carré d’une somme, et $a^2-b^2$ à une différence de carrés.

Explication

Le taux de variation est $\frac{100-80}{80}\times100=25\%$, car la différence est rapportée à la valeur de départ. Le rapport 20 sur 100 utilise la valeur d’arrivée comme dénominateur.

Explication

Une hausse de 15 % se calcule par $200\times(1+0{,}15)=230$ euros. Le montant de 215 euros correspondrait à une augmentation absolue de 15 euros, non à une hausse de 15 %.

Explication

La moyenne pondérée multiplie chaque valeur par son coefficient, puis divise par la somme des coefficients. La formule $\frac{X_1+\cdots+X_N}{N}$ est la moyenne arithmétique simple, qui ne tient pas compte des coefficients.

Explication

La moyenne harmonique vaut $\frac{2}{\frac14+\frac16}=\frac{2}{\frac5{12}}=\frac{24}{5}=4{,}8$. La valeur 5 est la moyenne arithmétique de 4 et 6, pas la moyenne harmonique.

Explication

En utilisant $\frac ab+\frac cd=\frac{ad+cb}{bd}$, on obtient $\frac25+\frac37=\frac{2\times7+3\times5}{5\times7}=\frac{29}{35}$. Additionner séparément les numérateurs et les dénominateurs ne conserve pas la valeur de la somme.

Explication

Pour des distances aller et retour égales, la vitesse moyenne vaut $\frac{2\times60\times40}{60+40}=48$ km/h. La moyenne arithmétique de 60 et 40 donnerait 50 km/h, mais elle ne convient pas à des durées différentes.

Explication

Pour un travail simultané, les inverses des durées s’additionnent : $\frac{1}{T_{total}}=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$, donc $T_{total}=2$ heures. Additionner les durées donnerait $9$ heures, ce qui correspond à un travail successif plutôt qu’à un travail simultané.

Explication

La somme vaut $\frac{1}{2}\times 10\times(4+31)=175$. La différence constante caractérise cette suite, mais la somme se calcule ici avec le premier et le dernier terme, et non par une formule de suite géométrique.

Explication

La somme géométrique s’écrit $a\times\frac{q^N-1}{q-1}$. La formule faisant intervenir la moyenne du premier et du dernier terme appartient à la somme d’une suite arithmétique.

Explication

Dans un rattrapage, l’écart de vitesses est $92-80=12$ km/h, puis le temps vaut $T=D/V=24/12=2$ heures. La somme des vitesses sert au croisement simultané, pas au rattrapage d’un véhicule qui avance dans la même direction.

Explication

Le volume d’un cylindre est le produit de l’aire de sa base circulaire $\pi r^2$ par sa hauteur, soit $\pi r^2h$. L’expression $\frac{1}{3}\pi r^2h$ correspond au volume d’un cône de même base et de même hauteur.

Explication

L’aire d’un triangle rectangle est la moitié du produit des deux côtés perpendiculaires : $\frac{6\times8}{2}=24\ \text{cm}^2$. Le produit $6\times8=48$ représente le double de l’aire, et non l’aire elle-même.

Explication

L’aire du trapèze vaut $\frac{(B+b)h}{2}=\frac{(14+8)\times5}{2}=55\ \text{cm}^2$. Le résultat $110\ \text{cm}^2$ omet la division par deux prévue par la formule du trapèze.

Explication

Le volume d’une pyramide est $\frac{1}{3}\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}=\frac{1}{3}\times36\times10=120\ \text{cm}^3$. Le produit $36\times10=360$ est le volume d’un pavé de mêmes dimensions, sans le facteur propre à la pyramide.

Explication

La somme vaut $180°(N-2)=180°(7-2)=900°$. La valeur $180°$ ne convient qu’à un triangle, tandis que la formule générale dépend du nombre de côtés du polygone.

Explication

Le théorème de Pythagore donne $BC^2=9^2+12^2=225$, donc $BC=15$ cm. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, et non la somme ou le produit des deux côtés perpendiculaires.

Explication

La réciproque de Pythagore s’applique puisque $9^2+12^2=81+144=225=15^2$ : le triangle est rectangle. L’égalité entre les longueurs elles-mêmes n’est pas le critère utilisé par cette réciproque.

Explication

La proportionnalité de Thalès donne $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$, donc $\frac{4}{12}=\frac{AE}{9}$ et $AE=3$ cm. La longueur $6$ cm ne respecte pas le même rapport entre les segments correspondants.

Explication

La probabilité s’obtient en rapportant le nombre de cas favorables au nombre total de cas. Les cas favorables sont compris parmi les cas totaux, et non formés par deux ensembles distincts.

Explication

L’union représente les issues où A ou B se réalise, ce qui impose de retirer l’intersection comptée deux fois. L’intersection correspond au contraire aux issues où A et B se réalisent ensemble.

Explication

Pour des événements indépendants, la réalisation de B ne dépend pas de celle de A, donc la probabilité conjointe est le produit des deux probabilités. La formule avec une probabilité conditionnelle s’applique au cas général : $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$.

Explication

Une combinaison ne tient pas compte de l’ordre, ce qui explique la division par $p!$, tandis qu’un arrangement tient compte de l’ordre. La formule des arrangements conserve donc $\frac{n!}{(n-p)!}$.

Explication

Les lettres identiques produisent plusieurs permutations indiscernables ; il faut donc diviser par la factorielle de chaque multiplicité. Les répétitions réduisent ainsi le nombre d’anagrammes distinctes au lieu de l’augmenter.

Explication

Chaque rencontre associe une paire de participants, et les paires non ordonnées sont comptées par $\frac{N(N-1)}2$. Le nombre $N-1$ correspond aux rencontres disputées par un participant, pas au total du tournoi.

Explication

Une poignée de main correspond à une paire de personnes, et chaque paire doit être comptée une seule fois, d’où $\frac{N(N-1)}2$. L’expression $N(N-1)$ compterait chaque paire dans les deux ordres possibles.