QCM : Mathématiques autour de la piscine — 30 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression donne le volume d’un cylindre de rayon rr et de hauteur hh ?

2πrh2\pi rh
πrh2\pi rh^2
πr2h\pi r^2h
43πr3\frac{4}{3}\pi r^3

$$\pi r^2h$$

Explication

Le volume d’un cylindre se calcule en multipliant l’aire de sa base, πr2\pi r^2, par sa hauteur hh. L’expression 2πrh2\pi rh correspond plutôt à une partie de l’aire latérale, et non au volume.

2. Quel est le volume exact d’une boule de rayon 3 cm3\ \text{cm} ?

12π cm312\pi\ \text{cm}^3
27π cm327\pi\ \text{cm}^3
9π cm39\pi\ \text{cm}^3
36π cm336\pi\ \text{cm}^3

$$36\pi\ \text{cm}^3$$

Explication

En utilisant V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3 avec r=3r=3, on obtient 43π×27=36π cm3\frac{4}{3}\pi\times27=36\pi\ \text{cm}^3. L’expression 27π27\pi oublie le coefficient 43\frac{4}{3}.

3. Laquelle de ces écritures représente une valeur approchée plutôt qu’une valeur exacte d’un volume ?

20π cm320\pi\ \text{cm}^3
803π cm3\frac{80}{3}\pi\ \text{cm}^3
62,832 cm362{,}832\ \text{cm}^3
15π cm315\pi\ \text{cm}^3

$$62{,}832\ \text{cm}^3$$

Explication

Une valeur approchée remplace π\pi par une valeur décimale et peut être arrondie, comme dans 62,832 cm362{,}832\ \text{cm}^3. Les autres écritures conservent π\pi et représentent donc des valeurs exactes.

4. Quelle affirmation définit correctement la racine carrée d’un nombre positif aa ?

C’est le double du nombre dont le carré vaut aa.
C’est le nombre négatif dont le carré vaut aa.
Ce sont les deux nombres opposés dont le carré vaut aa.
C’est l’unique nombre positif dont le carré vaut aa.

C’est l’unique nombre positif dont le carré vaut $$a$$.

Explication

La racine carrée de aa est le nombre positif unique dont le carré est aa. Les deux solutions de x2=ax^2=a, lorsqu’elles existent, sont opposées, mais une racine carrée désigne la solution positive.

5. Si aa est positif, quelle égalité est correcte ?

a2=a2\sqrt{a^2}=a^2
(a)2=a2+1(\sqrt a)^2=\sqrt{a^2}+1
a2=a\sqrt{a^2}=a
a2=−a\sqrt{a^2}=-a

$$\sqrt{a^2}=a$$

Explication

Pour un nombre positif aa, la racine carrée principale de a2a^2 est aa, donc a2=a\sqrt{a^2}=a. L’égalité a2=−a\sqrt{a^2}=-a donnerait une valeur négative, incompatible avec la définition de la racine carrée.

6. Quelle valeur peut être le carré d’un nombre réel ?

−9-9
00
−12-\frac{1}{2}
−1-1

$$0$$

Explication

Le carré d’un nombre réel est positif ou nul, et 02=00^2=0 montre que zéro est possible. Les nombres négatifs proposés ne peuvent pas être des carrés réels.

7. Quelle égalité fait partie des carrés parfaits à connaître ?

102=11010^2=110
112=11111^2=111
122=12412^2=124
122=14412^2=144

$$12^2=144$$

Explication

Le carré de 1212 est 144144, qui fait partie des carrés parfaits usuels. Les autres égalités modifient les résultats exacts des carrés de 1010 ou de 1111.

8. Quel encadrement de 50\sqrt{50} par deux entiers consécutifs est correct ?

9<50<109<\sqrt{50}<10
7<50<87<\sqrt{50}<8
6<50<76<\sqrt{50}<7
8<50<98<\sqrt{50}<9

$$7<\sqrt{50}<8$$

Explication

Comme 72=49<50<64=827^2=49<50<64=8^2, on obtient 7<50<87<\sqrt{50}<8. L’encadrement entre 66 et 77 placerait à tort 5050 entre 3636 et 4949.

9. Un triangle a pour côtés 6 cm6\ \text{cm}, 8 cm8\ \text{cm} et 10 cm10\ \text{cm}. Quelle conclusion permet la réciproque du théorème de Pythagore ?

Le triangle est isocèle, car 62+82=1006^2+8^2=100.
Le triangle est rectangle, car 62+82=106^2+8^2=10.
Le triangle est rectangle, car 102=62+8210^2=6^2+8^2.
Le triangle est équilatéral, car 10=6+410=6+4.

Le triangle est rectangle, car $$10^2=6^2+8^2$$.

Explication

La plus grande longueur est 1010 et 102=100=36+64=62+8210^2=100=36+64=6^2+8^2, donc la réciproque du théorème de Pythagore établit que le triangle est rectangle. La relation doit comparer des carrés, et non une longueur à une somme de carrés.

10. Quelle égalité traduit correctement la distributivité de la multiplication sur une différence ?

k(a−b)=k+a−k−bk(a-b)=k+a-k-b
k(a−b)=ka+kbk(a-b)=ka+kb
k(a−b)=k(a)−bk(a-b)=k(a)-b
k(a−b)=ka−kbk(a-b)=ka-kb

$$k(a-b)=ka-kb$$

Explication

La distributivité impose de multiplier le facteur extérieur par chacun des termes, en conservant le signe de la soustraction. L’écriture avec une addition entre les produits ne respecte pas le signe négatif du second terme.

11. Quelle expression est sous forme développée ?

5x+105x+10
5(x+2)5(x+2)
5(x+2)+15(x+2)+1
5(x−2)5(x-2)

$$5x+10$$

Explication

Une forme développée sépare les produits en une somme ou une différence, comme dans 5x+105x+10. Les écritures contenant un produit par une parenthèse présentent un facteur commun sous forme factorisée.

12. Pour développer 3(2x−5)3(2x-5), quelle démarche faut-il appliquer ?

Multiplier 33 par 2x2x et par −5-5, puis réduire
Multiplier 33 par 2x−52x-5 sans distribuer le facteur
Multiplier 2x2x par −5-5, puis ajouter 33
Additionner 33 à chaque terme, puis conserver la parenthèse

Multiplier $$3$$ par $$2x$$ et par $$-5$$, puis réduire

Explication

Le facteur extérieur 33 doit être multiplié par chacun des termes de la parenthèse, ce qui donne ensuite 6x−156x-15. Multiplier les deux termes intérieurs entre eux ne correspond pas à la règle de développement.

13. Quelle expression est correctement réduite en regroupant les termes de même puissance ?

3x2+5x−2x2+x=x2+6x3x^2+5x-2x^2+x= x^2+6x
3x2+5x−2x2+x=6x2+6x3x^2+5x-2x^2+x=6x^2+6x
3x2+5x−2x2+x=3x2+5x3x^2+5x-2x^2+x=3x^2+5x
3x2+5x−2x2+x=6x33x^2+5x-2x^2+x=6x^3

$$3x^2+5x-2x^2+x= x^2+6x$$

Explication

Les termes en x2x^2 se regroupent en x2x^2 et les termes en xx en 6x6x. Des puissances différentes, comme x2x^2 et xx, restent dans des termes distincts.

14. Quelle transformation est correcte pour soustraire la somme (4x−3)\left(4x-3\right) ?

−(4x−3)=4x+3-(4x-3)=4x+3
−(4x−3)=−4x−3-(4x-3)=-4x-3
−(4x−3)=4x−3-(4x-3)=4x-3
−(4x−3)=−4x+3-(4x-3)=-4x+3

$$-(4x-3)=-4x+3$$

Explication

Soustraire une parenthèse contenant une somme ou une différence change le signe de chacun de ses termes, d’où −4x+3-4x+3. Conserver le signe du second terme appliquerait incorrectement la règle de l’addition d’une parenthèse.

15. Dans quelle situation les règles de suppression des parenthèses précédées d’un signe plus ou moins ne s’appliquent-elles pas directement ?

Quand la parenthèse est précédée d’un signe moins
Quand la parenthèse contient une somme
Quand la parenthèse contient une différence
Quand la parenthèse est un facteur d’un produit

Quand la parenthèse est un facteur d’un produit

Explication

Ces règles concernent les parenthèses précédées d’un signe plus ou moins dans une somme ou une différence. Une parenthèse qui joue le rôle de facteur dans un produit doit être traitée avec la distributivité.

16. Qu’est-ce qu’une équation ?

Une égalité qui comporte un nombre inconnu représenté par une lettre
Une formule qui décrit une figure sans inconnue
Une expression numérique qui ne contient aucune égalité
Une opération qui compare deux nombres déjà connus

Une égalité qui comporte un nombre inconnu représenté par une lettre

Explication

Une équation est une égalité dans laquelle une lettre représente un nombre inconnu. Une expression sans égalité ne permet pas de définir une équation.

17. Quelle valeur est une solution de l’équation 2x+3=112x+3=11 ?

x=7x=7
x=3x=3
x=4x=4
x=5x=5

$$x=4$$

Explication

En remplaçant xx par 44, on obtient 2×4+3=112\times4+3=11, donc l’égalité est vraie. Une solution doit rendre l’égalité vraie après substitution.

18. Que signifie résoudre une équation ?

Trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie
Tester une seule valeur choisie pour l’inconnue
Transformer l’égalité en expression sans inconnue
Calculer les coefficients sans vérifier l’égalité

Trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie

Explication

Résoudre une équation consiste à déterminer l’ensemble des valeurs qui rendent l’égalité vraie. Tester une valeur donnée ne vérifie qu’une possibilité et ne fournit pas nécessairement toutes les solutions.

19. Dans l’équation du premier degré ax+b=cax+b=c, quel rôle joue la lettre xx ?

Elle représente le résultat fixé par le membre de droite
Elle représente un coefficient déjà connu
Elle représente le terme constant de l’égalité
Elle représente l’inconnue à déterminer

Elle représente l’inconnue à déterminer

Explication

Dans la forme ax+b=cax+b=c, xx est la valeur recherchée, tandis que aa, bb et cc sont connus. Le terme cc est le membre de droite fixé, et non l’inconnue.

20. Quelle égalité traduit la double distributivité de deux binômes ?

(a+b)(c+d)=ac+bd(a+b)(c+d)=ac+bd
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(a+b)(c+d)=ac+ad−bc−bd(a+b)(c+d)=ac+ad-bc-bd
(a+b)(c+d)=a+b+c+d(a+b)(c+d)=a+b+c+d

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

Explication

La double distributivité associe chaque terme du premier binôme à chacun des deux termes du second, ce qui produit quatre termes. L’expression réduite à deux termes oublie les deux produits croisés.

21. Comment distingue-t-on les formes (a+b)(c+d)(a+b)(c+d) et ac+ad+bc+bdac+ad+bc+bd ?

La première est factorisée et la seconde est développée et réduite.
Les deux sont développées, mais seule la seconde est réduite.
La première est développée et la seconde est factorisée.
Les deux sont factorisées, mais seule la première est ordonnée.

La première est factorisée et la seconde est développée et réduite.

Explication

Un produit de facteurs constitue une forme factorisée, tandis qu’une somme de termes constitue ici la forme développée et réduite. La forme développée ne se reconnaît donc pas à la présence de parenthèses, mais à la somme obtenue après les produits.

22. Pour développer et réduire une expression comme (x−3)(2x+5)(x-3)(2x+5), quelle démarche faut-il suivre ?

Développer les quatre produits, gérer les signes, puis regrouper les termes de même puissance.
Additionner les termes des parenthèses, puis classer les facteurs selon leur puissance.
Regrouper les termes de même puissance, puis développer deux produits et ignorer les signes.
Mettre les deux parenthèses au carré, puis soustraire les termes de puissances différentes.

Développer les quatre produits, gérer les signes, puis regrouper les termes de même puissance.

Explication

La méthode consiste à former les quatre produits, à tenir compte des signes, puis à réduire en regroupant les termes de même puissance. Regrouper avant le développement ne permet pas d’obtenir correctement les produits croisés.

23. Quelle égalité remarquable permet de transformer le produit (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) ?

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a+b)(a−b)=a2−2ab+b2(a+b)(a-b)=a^2-2ab+b^2
(a+b)(a−b)=2a−2b(a+b)(a-b)=2a-2b
(a+b)(a−b)=a2+b2(a+b)(a-b)=a^2+b^2

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Explication

Deux facteurs conjugués donnent une différence de deux carrés : le produit devient a2−b2a^2-b^2. L’expression a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2 correspond au carré d’une différence, et non au produit de deux conjugués.

24. Quelle caractéristique permet de reconnaître une différence de deux carrés à factoriser par une égalité remarquable ?

Elle provient de deux facteurs quelconques contenant des termes de puissances différentes.
Elle provient de deux facteurs conjugués ayant les mêmes termes et des signes opposés.
Elle contient deux termes positifs dont les coefficients sont nécessairement égaux.
Elle comporte trois termes dont le terme central est le double produit des deux autres.

Elle provient de deux facteurs conjugués ayant les mêmes termes et des signes opposés.

Explication

Les facteurs conjugués ont les mêmes termes, mais les signes opposés, comme dans (a+b)(a−b)(a+b)(a-b). Deux facteurs quelconques ne permettent pas d’appliquer directement la formule de la différence de deux carrés.

25. Que signifie factoriser une expression algébrique ?

Transformer un produit de facteurs en une somme de termes.
Remplacer chaque variable par la valeur de son coefficient.
Réduire une expression en regroupant les termes de même puissance.
Transformer une somme ou une différence en un produit de facteurs.

Transformer une somme ou une différence en un produit de facteurs.

Explication

Factoriser consiste à écrire une somme ou une différence sous forme de produit, par exemple en faisant apparaître un facteur commun. Transformer un produit en somme correspond au développement.

26. Comment factorise-t-on une différence de deux carrés a2−b2a^2-b^2 ?

a2−b2=(a+b)2a^2-b^2=(a+b)^2
a2−b2=a(a−b)a^2-b^2=a(a-b)
a2−b2=(a−b)2a^2-b^2=(a-b)^2
a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

Explication

La différence de deux carrés se décompose en produit de la somme et de la différence des mêmes termes. Le carré d’une différence contient un terme supplémentaire en −2ab-2ab, ce qui le distingue de cette factorisation.

27. Quelle factorisation met correctement en évidence le facteur commun de l’expression 10x−1510x-15 ?

10(x−15)10(x-15)
15(10x−1)15(10x-1)
5(2x−3)5(2x-3)
5(2x+3)5(2x+3)

$$5(2x-3)$$

Explication

Le nombre 55 divise les deux termes, d’où 10x−15=5(2x−3)10x-15=5(2x-3). Le signe négatif du second terme doit être conservé après la mise en facteur, ce qui écarte l’écriture avec un signe plus.

28. Quelle fonction de calculatrice permet notamment d’afficher une racine carrée ou une fraction sous forme exacte plutôt que décimale ?

La touche de changement de signe du nombre affiché
La touche de mémorisation du résultat précédent
La touche de bascule entre valeur exacte et valeur décimale
La touche de conversion entre degrés et radians

La touche de bascule entre valeur exacte et valeur décimale

Explication

Cette touche permet de passer d’une écriture exacte à une approximation décimale, ce qui est particulièrement utile pour les racines carrées et les fractions. La conversion entre degrés et radians concerne les angles et ne modifie pas la forme numérique d’un résultat.

29. Pour encadrer une solution d’équation avec une calculatrice, quel rôle joue le pas de test ?

Il fixe l’écart entre deux valeurs successivement testées
Il transforme automatiquement la solution en valeur exacte
Il définit la borne inférieure de l’intervalle étudié
Il indique la borne supérieure de l’intervalle étudié

Il fixe l’écart entre deux valeurs successivement testées

Explication

Le pas détermine la distance entre les valeurs essayées lors de la recherche numérique. Les bornes, et non le pas, définissent l’intervalle dans lequel la solution est recherchée.

30. Dans un tableur, quelle formule calcule la racine carrée du nombre contenu dans la cellule A1 ?

=A1^2
=SOMME(A1:A5)
=ENT(A1)
=RACINE(A1)

=RACINE(A1)

Explication

La fonction RACINE appliquée à A1 renvoie la racine carrée de sa valeur. ENT extrait la partie entière, tandis qu'A1^2 calcule le carré du contenu de la cellule.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 61 flashcards sur Mathématiques autour de la piscine.

Quelle est la formule du volume d'un cylindre de rayon r et hauteur h ?

Vcylindre=πr2hV_{cylindre} = \pi r^2 h

Quelle est la formule du volume d'une boule de rayon r ?

Vboule=43πr3V_{boule} = \frac{4}{3} \pi r^3

Qu'est-ce qui différencie une valeur exacte d'une valeur approchée ?

Une valeur exacte conserve π\pi, une approchée le remplace par un nombre décimal.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Mathématiques autour de la piscine.

Voir la fiche →

Cours similaires

TAGE MAGE Calcul et taux d’intérêt

Mathématiques

Calcul et raisonnement quantitatif

Mathématiques

Croûtes terrestres et phénomènes géologiques

Mesures et incertitudes

Physique

Thermodynamique pour la biochimie

Chimie

Chimie organique : stéréoisomérie et réactivité

Chimie

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM