Fiche de révision : Mathématiques autour de la piscine

📋 Plan du Cours

1. Volumes du cylindre et de la boule
2. Racine carrée et carré
3. Carrés parfaits et encadrements
4. Distributivité simple
5. Réduction des expressions
6. Équations du premier degré
7. Développer par double distributivité
8. Utiliser une égalité remarquable
9. Factoriser une expression
10. Calculatrice et tableur

📖 1. Volumes du cylindre et de la boule

★ À maîtriser

📐 Formule — Le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h est $V_{cylindre} = \pi r^2 h$.

📐 Formule — Le volume d’une boule de rayon r est $V_{boule} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

📌 Une valeur exacte conserve π, tandis qu’une valeur approchée remplace π par une valeur décimale et peut être arrondie.

Compléments

• Pour calculer le volume exact du cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm, on obtient $V=20\pi\ \text{cm}^3$, soit environ 62,832 cm³ au millième.

💡 Astuce mémo

Valeur exacte avec π, valeur approchée après arrondi

📖 2. Racine carrée et carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : l’unique nombre positif dont le carré est a et se note $\sqrt{a}$

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout nombre positif a, on a $(\sqrt{a})^2=a$ et $\sqrt{a^2}=a$ lorsque a est positif.

• Le carré d’un nombre positif ou négatif est positif ou nul, donc le carré de tout nombre réel est positif ou nul.

Compléments

📌 Si un nombre n’est pas le carré d’un nombre décimal ou rationnel, sa racine carrée est conservée sous forme exacte et peut être donnée par une valeur arrondie.

💡 Astuce mémo

Le carré construit, la racine carrée retrouve le côté positif

📖 3. Carrés parfaits et encadrements

★ À maîtriser

• Les carrés parfaits à connaître sont $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $8^2=64$, $9^2=81$, $10^2=100$, $11^2=121$ et $12^2=144$.

• 🔄 Pour encadrer une racine carrée:

  1. Encadrer le nombre sous le radical par deux carrés parfaits consécutifs
  2. Prendre les racines carrées des bornes
  3. Écrire l’encadrement par deux entiers consécutifs

📌 La réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure qu’un triangle est rectangle si le carré de sa plus grande longueur est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs.

Compléments

📌 Les racines carrées sont rangées dans le même ordre que les nombres placés sous leurs radicaux.

💡 Astuce mémo

Carrés parfaits voisins → encadrement de la racine

📖 4. Distributivité simple

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité permet d’écrire $k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb$.

📌 L’expression $k(a+b)$ ou $k(a-b)$ est factorisée, tandis que $ka+kb$ ou $ka-kb$ est développée.

• Pour développer une expression, on multiplie le facteur extérieur par chacun des termes de la parenthèse, puis on réduit les produits numériques et littéraux.

Compléments

📌 Le produit de deux nombres de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

💡 Astuce mémo

Forme factorisée : produit ; forme développée : somme ou différence

📖 5. Réduction des expressions

★ À maîtriser

• 🔄 Pour réduire une expression à une variable:
  1. Rassembler les termes de même puissance
  2. Factoriser les termes regroupés
  3. Réduire les coefficients

📌 Pour soustraire une somme, on change le signe de chacun des termes de cette somme.

📌 Les règles de suppression des parenthèses précédées d’un signe plus ou moins s’appliquent aux sommes et différences, mais pas aux parenthèses qui sont facteurs d’un produit.

Compléments

📌 Lorsqu’une parenthèse est précédée d’un signe plus dans une somme, chaque terme de la parenthèse conserve son signe.

💡 Astuce mémo

Le signe + conserve les signes, le signe − les inverse

📖 6. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : une égalité qui comporte un nombre inconnu représenté par une lettre
• Solution d’une équation : une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie

★ À maîtriser

• Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.

📐 Formule — Une équation du premier degré à une inconnue s’écrit $ax+b=c$, où a, b et c sont connus et x est l’inconnue.

• 🔄 Pour résoudre une équation du premier degré:
  1. Regrouper les termes numériques
  2. Isoler l’inconnue
  3. Réduire les sommes

Compléments

• Le pH de l’eau est acide entre 0 et 6, neutre aux alentours de 7 et basique entre 8 et 14.

💡 Astuce mémo

Regrouper les termes numériques → isoler l’inconnue → réduire

📖 7. Développer par double distributivité

★ À maîtriser

📐 Formule — La double distributivité donne $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📌 $(a+b)(c+d)$ est une forme factorisée, tandis que $ac+ad+bc+bd$ est une forme développée et réduite.

• Pour développer et réduire, on développe les quatre produits, on effectue les produits en tenant compte des signes, puis on regroupe les termes de même puissance dans l’ordre décroissant des puissances.

Compléments

• Le développement de $(x-5)(7x+2)$ donne $7x^2-33x-10$.

💡 Astuce mémo

Distribuer quatre produits : premier avec premier, premier avec second, second avec premier, second avec second.

📖 8. Utiliser une égalité remarquable

★ À maîtriser

📐 Formule — L’égalité remarquable de la différence de deux carrés est $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

• Pour reconnaître une égalité remarquable, on identifie deux facteurs conjugués ayant la forme $(a+b)(a-b)$, puis on applique $a^2-b^2$.

Compléments

• Pour développer $(x+7)(x-7)$, on utilise l’égalité remarquable et on obtient $x^2-49$.

• Le produit $24\times16$ peut être calculé comme $(20+4)(20-4)$ et vaut $384$.

💡 Astuce mémo

Somme-différence : les termes du milieu s’annulent, il reste une différence de carrés.

📖 9. Factoriser une expression

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : transforme une somme ou une différence en un produit de facteurs

★ À maîtriser

📐 Formule — La différence de deux carrés se factorise selon $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

📐 Formule — Lorsqu’un facteur commun existe, $ka+kb=k(a+b)$ et $ka-kb=k(a-b)$.

Compléments

• L’expression $10x-15$ se factorise en $5(2x-3)$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 10. Calculatrice et tableur

★ À maîtriser

• La touche de calculatrice permettant de basculer entre une valeur exacte et une valeur décimale est utile notamment pour les racines carrées et les fractions.

• Une calculatrice permet d’obtenir un encadrement d’une solution d’équation en testant des valeurs entre une borne de départ et une borne de fin avec un pas donné.

• Dans un tableur, =RACINE(A1) donne la racine carrée du nombre saisi en A1, =ENT(A1) donne sa partie entière et =A1^2 calcule son carré.

Compléments

• Dans un tableur, =SOMME(A1:A5) calcule la somme des cellules A1 à A5 et =A1*A2 calcule le produit des cellules A1 et A2.

💡 Astuce mémo

Automatiser les calculs → encadrer une solution et tester des hypothèses.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’une expression