Fiche de révision : Tangente et nombre dérivé

📋 Plan du Cours

1. Tangente à une courbe
2. Pente entre deux points
3. Taux d’accroissement
4. Calcul du nombre dérivé

📖 1. Tangente à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à une courbe : Droite passant par le point A d’abscisse a et ayant pour coefficient directeur f'(a).

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

• Le nombre dérivé f'(a) est la pente de la tangente à la courbe représentative de f en a.

📖 2. Pente entre deux points

📝 Points essentiels

• Lorsque le point B se rapproche du point A, la pente de la droite AB se rapproche de celle de la tangente, appelée nombre dérivé de f en a.

📐 Formule — La pente de la droite passant par les points A et B est $m=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsque les abscisses sont a et a+h.

💡 Astuce mémo

A et B se rapprochent : la sécante tend vers la tangente

📖 3. Taux d’accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Nombre $m=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$.

★ À maîtriser

• Le taux d’accroissement est le coefficient directeur, ou la pente, de la droite passant par les deux points de la courbe.

Compléments

• Pour f(x)=4-\frac{x^2}{2} entre 1 et 3, le taux d’accroissement vaut -2.

📖 4. Calcul du nombre dérivé

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un réel a de l’intervalle de définition et un réel h tel que a+h appartient à cet intervalle, le taux d’accroissement s’écrit $T=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

• Le nombre dérivé de f en a est obtenu en faisant tendre vers 0 le taux d’accroissement entre a et a+h.

Compléments

• Sur une calculatrice TI, le nombre dérivé s’obtient avec nbrederive(f(x), x, a) ou d/dx(f(x))|x=a dans le menu MATH.

• Sur une calculatrice NumWorks, le nombre dérivé s’obtient avec d/dx(f(x))|x=a dans la boîte à outils du menu Analyse.

💡 Astuce mémo

Quand h tend vers 0, la pente de la sécante tend vers celle de la tangente

📊 Tableaux de synthèse

Pentes et droites associées