QCM : Tangente et nombre dérivé — 8 questions

Question 1

1. Quelle caractéristique définit la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

Elle relie le point d’abscisse

a

à l’origine et son coefficient directeur vaut

f(a)

.

Elle relie deux points distincts de la courbe et son coefficient directeur vaut

f(a)

.

Elle passe par le point d’abscisse

a

et son coefficient directeur vaut

f'(a)

.

Elle passe par le point d’ordonnée

a

et son coefficient directeur vaut

f'(a)

.

Explication

La tangente passe par le point de la courbe d’abscisse $a$ et possède pour coefficient directeur le nombre dérivé $f'(a)$ . La droite qui relie deux points distincts de la courbe est une sécante, et non une tangente au point considéré.

Answer

Elle passe par le point d’abscisse $$a$$ et son coefficient directeur vaut $$f'(a)$$.

Question 2

2. Quelle expression donne l’équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

y=f'(a)x+f(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

y=f(a)x-f'(a)

Explication

L’équation de la tangente s’écrit $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ : la pente est donnée par $f'(a)$ et le point de contact possède pour ordonnée $f(a)$ . L’expression $f'(a)x+f(a)$ oublie notamment le décalage horizontal lié à l’abscisse $a$ .

Answer

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Question 3

3. Que devient la pente de la droite passant par $A$ et $B$ lorsque $B$ se rapproche de $A$ sur la courbe ?

Elle se rapproche de la valeur de la fonction au point d’abscisse

a

.

Elle se rapproche de la pente de la tangente, qui est le nombre dérivé en

a

.

Elle devient la pente d’une sécante reliant deux points éloignés.

Elle se rapproche de l’abscisse du point de contact avec la courbe.

Explication

Lorsque $B$ tend vers $A$ , la pente de la sécante $AB$ tend vers celle de la tangente, c’est-à-dire vers le nombre dérivé de $f$ en $a$ . Tant que les deux points sont distincts, $AB$ reste une sécante et non la tangente elle-même.

Answer

Elle se rapproche de la pente de la tangente, qui est le nombre dérivé en $$a$$.

Question 4

4. Si les abscisses de $A$ et $B$ sont respectivement $a$ et $a+h$ , comment calcule-t-on la pente de la droite $AB$ ?

m=\frac{a+h-a}{f(a+h)-f(a)}

m=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

m=\frac{f(a+h)+f(a)}{h}

m=f(a+h)-f(a)

Explication

La pente est le quotient de la variation des ordonnées par la variation des abscisses, soit $\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . La simple différence des images mesure une variation verticale, mais ne fournit pas une pente sans division par la variation horizontale.

Answer

$$m=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Question 5

5. Qu'est-ce qu'une tangente à une courbe en un point donné ?

Une droite perpendiculaire à la courbe en ce point.

Une droite passant par le point A d’abscisse a et ayant pour coefficient directeur f'(a).

Une droite qui coupe la courbe en un seul point.

Une courbe qui touche une autre courbe en un point.

Explication

Une tangente à une courbe en un point est la droite qui passe par ce point et a pour coefficient directeur la dérivée de la fonction en ce point. La réponse incorrecte évoque une droite quelconque ou une autre relation, mais ne correspond pas à la définition précise de la tangente.

Answer

Une droite passant par le point A d’abscisse a et ayant pour coefficient directeur f'(a).

Question 6

6. Quelle formule donne l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a ?

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)+f'(a)(x-a)

y=f(a)+f''(a)(x-a)^2/2

y=f(a)+f'(a)(x+a)

Explication

La formule correcte est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ , qui représente l'équation de la tangente en utilisant la dérivée en a. La deuxième option est équivalente mais formulée différemment, tandis que les autres sont incorrectes car elles utilisent des expressions non adaptées à la tangente.

Answer

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Question 7

7. Quel est le but principal du taux d’accroissement dans l’étude d’une fonction ?

Il détermine la pente de la tangente à la courbe en un point.

Il mesure la variation moyenne de la fonction entre deux points.

Il calcule la valeur exacte de la fonction en un point précis.

Il sert à déterminer la dérivée seconde de la fonction.

Explication

Le taux d’accroissement représente la variation moyenne de la fonction entre deux points, ce qui correspond à la pente de la droite secante. La pente de la tangente, en revanche, est liée à la dérivée en un point précis.

Answer

Il mesure la variation moyenne de la fonction entre deux points.

Question 8

8. En quoi le taux d’accroissement diffère-t-il du nombre dérivé d’une fonction en un point ?

Le taux d’accroissement mesure la pente entre deux points, tandis que le nombre dérivé est la pente de la tangente en un seul point.

Le taux d’accroissement ne dépend pas de l’intervalle choisi, contrairement au nombre dérivé.

Le taux d’accroissement est toujours positif, alors que le nombre dérivé peut être négatif.

Le taux d’accroissement est calculé pour une seule valeur de x, alors que le nombre dérivé concerne deux points.

Explication

Le taux d’accroissement calcule la pente entre deux points, alors que le nombre dérivé est la pente de la tangente en un seul point. La différence réside donc dans le nombre de points utilisés pour le calcul.

Answer

Le taux d’accroissement mesure la pente entre deux points, tandis que le nombre dérivé est la pente de la tangente en un seul point.

QCM : Tangente et nombre dérivé — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

2. Quelle expression donne l’équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

3. Que devient la pente de la droite passant par $A$ et $B$ lorsque $B$ se rapproche de $A$ sur la courbe ?

4. Si les abscisses de $A$ et $B$ sont respectivement $a$ et $a+h$ , comment calcule-t-on la pente de la droite $AB$ ?

5. Qu'est-ce qu'une tangente à une courbe en un point donné ?

6. Quelle formule donne l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a ?

7. Quel est le but principal du taux d’accroissement dans l’étude d’une fonction ?

8. En quoi le taux d’accroissement diffère-t-il du nombre dérivé d’une fonction en un point ?

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QCM : Tangente et nombre dérivé — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit la tangente à la courbe représentative de fff au point d’abscisse aaa ?

2. Quelle expression donne l’équation réduite de la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

3. Que devient la pente de la droite passant par AAA et BBB lorsque BBB se rapproche de AAA sur la courbe ?

4. Si les abscisses de AAA et BBB sont respectivement aaa et a+ha+ha+h, comment calcule-t-on la pente de la droite ABABAB ?

5. Qu'est-ce qu'une tangente à une courbe en un point donné ?

6. Quelle formule donne l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a ?

7. Quel est le but principal du taux d’accroissement dans l’étude d’une fonction ?

8. En quoi le taux d’accroissement diffère-t-il du nombre dérivé d’une fonction en un point ?

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1. Quelle caractéristique définit la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

2. Quelle expression donne l’équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

3. Que devient la pente de la droite passant par $A$ et $B$ lorsque $B$ se rapproche de $A$ sur la courbe ?

4. Si les abscisses de $A$ et $B$ sont respectivement $a$ et $a+h$ , comment calcule-t-on la pente de la droite $AB$ ?