QCM : Trigonométrie et géométrie complexe — 61 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment le plan géométrique est-il défini ?

Un ensemble non vide auquel sont associés des points, des droites et d’autres objets géométriques
Un ensemble de points muni d’une unique droite reliant chaque paire de points
Un ensemble de droites parallèles auquel sont ajoutés des angles et des segments
Une surface constituée de triangles dont les côtés déterminent toutes les figures

Un ensemble non vide auquel sont associés des points, des droites et d’autres objets géométriques

Explication

Le plan est un ensemble non vide, noté P, auquel sont associés des points, des droites et d’autres objets géométriques. La présence de points ou de droites ne suffit donc pas à définir à elle seule le plan.

2. Quelle succession d’étapes caractérise la méthode axiomatique en géométrie ?

Définir précisément les notions, accepter des axiomes, puis déduire logiquement des propositions
Observer plusieurs figures, formuler une conjecture, puis accepter celle qui semble la plus probable
Énoncer des théorèmes, choisir les axiomes qui les confirment, puis définir les notions utilisées
Mesurer les objets, comparer les résultats, puis généraliser les propriétés sans démonstration

Définir précisément les notions, accepter des axiomes, puis déduire logiquement des propositions

Explication

La méthode axiomatique commence par des définitions précises et accepte certains axiomes sans démonstration, avant d’en déduire logiquement des propositions. Une conjecture fondée sur l’observation ne remplace pas cette organisation déductive.

3. Quels contenus peuvent être évalués systématiquement dans les épreuves de contrôle continu ?

Des définitions, des énoncés de théorèmes ou de propositions et des démonstrations
Des problèmes historiques, des biographies de mathématiciens et des commentaires de figures
Des formules à mémoriser, des mesures expérimentales et des résultats obtenus à la calculatrice
Des constructions graphiques, des calculs numériques et des exercices de repérage uniquement

Des définitions, des énoncés de théorèmes ou de propositions et des démonstrations

Explication

Les épreuves de contrôle continu comportent systématiquement des questions de cours portant sur les définitions, les énoncés de théorèmes ou propositions et les démonstrations. Les autres contenus proposés ne reprennent pas cette composition.

4. Que peut-on affirmer au sujet de la droite déterminée par deux points distincts A et B ?

Une unique droite passe par A et B, et elle est notée (AB)
Une droite et un segment passent par A et B, avec des propriétés différentes
Une droite passant par A et B existe dès que ces deux points sont situés sur un même cercle
Deux droites distinctes passent par A et B, l’une étant parallèle à une troisième

Une unique droite passe par A et B, et elle est notée (AB)

Explication

Par deux points distincts A et B du plan passe une unique droite, notée (AB). L’existence d’un cercle ou d’une troisième droite n’intervient pas dans cette propriété fondamentale.

5. Quelles sont les trois configurations possibles pour deux droites du plan ?

Elles sont disjointes, sécantes en plusieurs points ou de longueurs différentes
Elles sont perpendiculaires, parallèles distinctes ou sécantes en deux points
Elles sont disjointes, sécantes en un point unique ou confondues
Elles sont parallèles, orthogonales ou superposées sur un segment commun

Elles sont disjointes, sécantes en un point unique ou confondues

Explication

Deux droites sont soit disjointes, soit sécantes en un unique point, soit confondues. Des droites parallèles peuvent être disjointes ou confondues, tandis que deux droites sécantes ne possèdent qu’un point commun.

6. Dans le plan euclidien, quelle propriété possède la parallèle à une droite Δ passant par un point M ?

Il existe une unique droite perpendiculaire à Δ qui contient M
Il existe une unique droite parallèle à Δ qui contient M
Une droite parallèle à Δ passant par M existe lorsque M appartient déjà à Δ
Il existe au moins deux droites parallèles à Δ qui contiennent M

Il existe une unique droite parallèle à Δ qui contient M

Explication

Dans le plan euclidien, une droite Δ et un point M déterminent une unique parallèle à Δ passant par M. L’existence de plusieurs parallèles par ce point correspondrait à une autre géométrie, comme la géométrie hyperbolique.

7. Quelle description correspond à la distance dans le plan ?

Une application des points vers les droites qui associe à chaque point sa droite la plus proche
Une application de P × P vers les entiers qui dépend de l’ordre des deux points choisis
Une application de P × P vers les réels positifs vérifiant notamment la symétrie et l’inégalité triangulaire
Une application des droites vers les réels qui mesure l’écart entre deux objets parallèles

Une application de P × P vers les réels positifs vérifiant notamment la symétrie et l’inégalité triangulaire

Explication

La distance est une application de P × P vers les réels positifs et vérifie notamment la symétrie, la séparation et l’inégalité triangulaire. Elle associe donc une valeur à une paire de points, et non à un point ou à une droite isolée.

8. Comment définit-on l’angle orienté associé au triplet (A,O,B) ?

Comme la valeur absolue d’un angle compris entre 0 et π, sans tenir compte de l’orientation
Comme le segment reliant A à B, dont la longueur est déterminée par les rayons OA et OB
Comme l’unique demi-droite partageant les deux demi-droites de même mesure
Comme le couple des demi-droites ([OA),[OB)), dont la mesure appartient à R/2πZ

Comme le couple des demi-droites ([OA),[OB)), dont la mesure appartient à R/2πZ

Explication

L’angle orienté du triplet (A,O,B) est la figure formée par les deux demi-droites [OA) et [OB), et sa mesure appartient à R/2πZ. Il faut distinguer cette figure de sa mesure numérique, définie modulo 2π.

9. Dans quel ensemble se trouve la mesure de l’angle non orienté formé par (A,O,B) ?

Dans l’ensemble R/2πZ, en conservant le sens de parcours entre les deux demi-droites
Dans l’intervalle ]−π,π[, sans appliquer de valeur absolue à la détermination principale
Dans l’ensemble des réels positifs, sans borne supérieure liée à la mesure d’un angle
Dans l’intervalle [0,π], après prise de la valeur absolue de la détermination principale

Dans l’intervalle [0,π], après prise de la valeur absolue de la détermination principale

Explication

La mesure non orientée est la valeur absolue de la détermination principale de l’angle orienté, donc elle appartient à [0,π]. La classe modulo 2π décrit la mesure orientée, qui conserve l’information d’orientation.

10. Un angle de mesure 3π4\frac{3\pi}{4} est-il aigu, droit ou obtus ?

Il est droit, car sa mesure est un multiple de π4\frac{\pi}{4}
Il est obtus, car sa mesure est supérieure à π2\frac{\pi}{2}
Il est nul, car sa mesure possède une expression fractionnaire
Il est aigu, car sa mesure est inférieure à π\pi

Il est obtus, car sa mesure est supérieure à $$\frac{\pi}{2}$$

Explication

Un angle est obtus lorsque sa mesure est supérieure à π2\frac{\pi}{2}, et 3π4\frac{3\pi}{4} satisfait cette condition. Le fait que sa mesure soit inférieure à π ne le rend pas aigu.

11. Comment caractérise-t-on deux points situés du même côté d’une droite Δ ?

La distance des deux points à Δ est nécessairement égale
Les deux points appartiennent à la droite Δ
Le segment qui les relie est perpendiculaire à la droite Δ
Le segment qui les relie ne rencontre pas la droite Δ

Le segment qui les relie ne rencontre pas la droite Δ

Explication

Deux points sont du même côté de Δ lorsque leur segment commun ne rencontre pas Δ. Des points situés de côtés opposés ont au contraire un segment qui rencontre la droite.

12. Comment le plan se décompose-t-il par rapport à une droite Δ ?

En quatre régions ouvertes séparées par deux droites
En deux demi-plans disjoints et en la droite Δ elle-même
En deux droites parallèles et en la bande située entre elles
En un demi-plan contenant Δ et un autre qui lui est extérieur

En deux demi-plans disjoints et en la droite Δ elle-même

Explication

Le plan est la réunion disjointe de deux demi-plans et de la droite Δ. La droite appartient à cette décomposition, tandis que les demi-plans sont disjoints de Δ et l’un de l’autre.

13. Pourquoi chacun des deux demi-plans déterminés par une droite est-il convexe ?

Chaque point du demi-plan se trouve à la même distance de la droite frontière
Tout segment reliant deux de ses points reste contenu dans ce demi-plan
Tout segment reliant deux de ses points est parallèle à la droite frontière
Toute droite passant par deux de ses points est entièrement confondue avec lui

Tout segment reliant deux de ses points reste contenu dans ce demi-plan

Explication

La convexité signifie que le segment joignant deux points d’un même demi-plan y reste inclus. Le segment n’a pas besoin d’être parallèle à la droite qui délimite le demi-plan.

14. Quelle propriété distingue l’additivité de l’invariance par isométrie dans la définition de l’aire ?

L’additivité concerne des parties disjointes, tandis que l’invariance concerne des triangles isométriques
L’additivité compare des parties incluses, tandis que l’invariance mesure les segments
L’additivité s’applique aux rectangles, tandis que l’invariance s’applique aux droites
L’additivité concerne des triangles isométriques, tandis que l’invariance concerne des parties disjointes

L’additivité concerne des parties disjointes, tandis que l’invariance concerne des triangles isométriques

Explication

L’additivité permet d’additionner les aires de parties disjointes, alors que l’invariance donne la même aire à des triangles isométriques. La comparaison de parties incluses relève de la monotonie.

15. Un rectangle ABCD a pour côtés consécutifs AB et BC. Quelle expression donne son aire ?

A(ABCD)=AB×BCA(ABCD)=AB\times BC
A(ABCD)=AB+BCA(ABCD)=AB+BC
A(ABCD)=2×(AB+BC)A(ABCD)=2\times(AB+BC)
A(ABCD)=ABBCA(ABCD)=\frac{AB}{BC}

$$A(ABCD)=AB\times BC$$

Explication

L’aire d’un rectangle est le produit de deux longueurs de côtés consécutifs, donc A(ABCD)=AB×BCA(ABCD)=AB\times BC. La somme et le double de la somme correspondent à des longueurs de contour, pas à l’aire.

16. Quelle condition définit une isométrie du plan ?

C’est une transformation qui envoie chaque droite sur une droite perpendiculaire
C’est une bijection du plan dans lui-même qui conserve toutes les distances
C’est une application du plan qui conserve les aires des figures bornées
C’est une application qui conserve les coordonnées d’au moins trois points

C’est une bijection du plan dans lui-même qui conserve toutes les distances

Explication

Une isométrie est une application bijective du plan dans lui-même qui préserve la distance entre chaque couple de points. La conservation des aires ou des droites peut découler de propriétés géométriques, mais ne constitue pas la définition complète.

17. Que devient une droite lorsqu’elle est transformée par une isométrie du plan ?

Elle est transformée en une droite
Elle est transformée en un segment de même longueur
Elle devient nécessairement une droite perpendiculaire
Elle devient une région plane de même aire

Elle est transformée en une droite

Explication

L’image d’une droite par une isométrie est encore une droite. Son orientation peut changer, mais elle n’est pas transformée en segment ou en région plane.

18. Quelle relation caractérise une isométrie f pour deux points quelconques A et B ?

f(A)f(B)=A+Bf(A)f(B)=A+B
f(A)f(B)=1ABf(A)f(B)=\frac{1}{AB}
f(A)f(B)=ABf(A)f(B)=AB
f(A)f(B)=AB2f(A)f(B)=AB^2

$$f(A)f(B)=AB$$

Explication

Une isométrie conserve les distances, ce qui donne f(A)f(B)=ABf(A)f(B)=AB pour tous les points A et B. Le carré ou l’inverse de la distance ne sont pas les quantités conservées par définition.

19. Quelle propriété des angles est préservée par une isométrie du plan ?

La mesure des angles devient proportionnelle aux longueurs
Les angles sont conservés uniquement lorsque leurs côtés sont parallèles
La mesure des angles non orientés est conservée
Le sens de parcours de tous les angles est conservé

La mesure des angles non orientés est conservée

Explication

Une isométrie préserve les angles non orientés, c’est-à-dire leur mesure indépendamment du sens de parcours. La conservation explicite des angles orientés est associée ici à la symétrie centrale.

20. Comment la symétrie centrale de centre O transforme-t-elle un point A distinct de O ?

Elle lui associe l’unique point s(A) tel qu'O soit le milieu de [As(A)]
Elle le fixe et transforme les autres points autour de A
Elle lui associe le point de la droite OA situé à la même distance de O, du même côté
Elle l’envoie sur le pied de la perpendiculaire menée de A à une droite passant par O

Elle lui associe l’unique point s(A) tel qu'O soit le milieu de [As(A)]

Explication

Par définition, s(A) est l’unique point pour lequel O est le milieu du segment [As(A)]. Le centre O est fixe, mais un point distinct de O est généralement envoyé sur un point symétrique distinct.

21. Quelle combinaison de propriétés caractérise une symétrie centrale ?

Elle est une application non bijective qui envoie toute droite sur une droite sécante
Elle conserve les aires, transforme les droites en segments et fixe tous les points du plan
Elle est une isométrie, envoie une droite sur une parallèle ou une droite confondue, et conserve les angles orientés
Elle conserve les distances, transforme chaque droite en une perpendiculaire et inverse les angles orientés

Elle est une isométrie, envoie une droite sur une parallèle ou une droite confondue, et conserve les angles orientés

Explication

Une symétrie centrale est une isométrie, et l’image d’une droite est parallèle à celle-ci ou confondue avec elle ; les angles orientés sont également préservés. Elle ne transforme donc pas les droites en perpendiculaires et ne fixe pas tous les points.

22. Deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure dans la configuration considérée. Que peut-on en déduire ?

Les deux droites sont perpendiculaires.
Les deux droites sont parallèles.
Les deux droites sont confondues.
Les deux droites se coupent en un point différent.

Les deux droites sont parallèles.

Explication

L’égalité des angles alternes-internes caractérise le parallélisme de deux droites coupées par une sécante. La perpendicularité dépend d’un angle droit et ne découle pas de cette égalité.

23. Pour déterminer la projection orthogonale d’un point M sur une droite Δ, quelle construction faut-il effectuer ?

Tracer par M la perpendiculaire à Δ et prendre son intersection avec Δ.
Relier M à un point quelconque de Δ sans imposer d’angle particulier.
Construire le symétrique de M par rapport à Δ et prendre son milieu.
Tracer par M une parallèle à Δ et prendre son intersection avec Δ.

Tracer par M la perpendiculaire à Δ et prendre son intersection avec Δ.

Explication

La projection orthogonale est le pied de la perpendiculaire menée de M à Δ. Le symétrique orthogonal est une autre construction : M et son symétrique ont leur pied commun comme milieu.

24. Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A mesure 6 cm et la base BC mesure 10 cm. Quelle est l’aire du triangle ?

60 cm²
30 cm²
20 cm²
16 cm²

30 cm²

Explication

L’aire se calcule par A(ABC)=BC×AHA2\mathcal A(ABC)=\frac{BC\times AH_A}{2}, soit 10×62=30\frac{10\times6}{2}=30 cm². La valeur 60 cm² correspondrait à l’oubli de la division par deux.

25. Dans un triangle, deux angles non orientés mesurent 50° et 60°. Quelle est la mesure du troisième angle ?

90°
80°
110°
70°

70°

Explication

La somme des angles d’un triangle vaut π\pi, soit 180°. Le troisième angle mesure donc 180−50−60=70180-50-60=70°.

26. Dans le triangle ABC, une droite parallèle à (BC) coupe [AB] en M et [AC] en N. Quelle relation de Thalès est alors vérifiée ?

AMAB=ANAC=MNBC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}
AMAC=ANAB=BCMN\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{BC}{MN}
ABAM=ACAN=MNBC\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}=\frac{MN}{BC}
AMMB=ANNC=BCMN\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=\frac{BC}{MN}

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

Explication

Le parallélisme de (MN) et (BC) donne l’égalité des rapports entre longueurs correspondantes. Les autres égalités inversent ou associent des segments qui ne correspondent pas dans le théorème direct.

27. Dans un triangle ABC, M appartient à [AB) et N à [AC). On sait que AMAB=ANAC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}. Quelle conclusion est justifiée par la réciproque de Thalès ?

Les segments [MN] et [BC] ont la même longueur.
Les angles en M et N sont nécessairement droits.
Les points M et N sont les milieux de [AB] et [AC].
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Explication

L’égalité de rapports correspondants permet, sous les conditions indiquées, de conclure que (MN) est parallèle à (BC). Elle n’impose ni une égalité de longueurs, ni des angles droits, ni la position de milieux.

28. Dans un triangle ABC, M et N sont les milieux respectifs de [AB] et [AC], et BC mesure 14 cm. Que valent le parallélisme et la longueur de MN ?

(MN) est parallèle à (AC) et MN mesure 28 cm.
(MN) est perpendiculaire à (BC) et MN mesure 14 cm.
(MN) est perpendiculaire à (AB) et MN mesure 7 cm.
(MN) est parallèle à (BC) et MN mesure 7 cm.

(MN) est parallèle à (BC) et MN mesure 7 cm.

Explication

Le segment joignant les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci. Ainsi, MN=142=7MN=\frac{14}{2}=7 cm.

29. Quelle caractéristique définit deux triangles semblables ?

Ils possèdent trois côtés de même longueur deux à deux.
Ils ont des diagonales correspondantes de même longueur.
Ils ont les mêmes mesures d’angles correspondants.
Ils ont nécessairement la même aire et le même périmètre.

Ils ont les mêmes mesures d’angles correspondants.

Explication

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles correspondants ont les mêmes mesures. Une même aire ou des côtés de même longueur caractérisent des situations plus fortes qui ne sont pas nécessaires à la similitude.

30. Selon la définition considérée, comment reconnaît-on qu’un quadrilatère ABCD est un parallélogramme ?

Ses diagonales [AC] et [BD] ont la même longueur.
Deux de ses angles consécutifs sont droits.
Ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
Ses côtés consécutifs ont tous la même longueur.

Ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.

Explication

La définition repose sur le fait que les deux diagonales ont un milieu commun. L’égalité des diagonales ou la présence d’angles droits concerne certaines familles particulières de quadrilatères, sans définir tout parallélogramme.

31. Quelle propriété les côtés opposés d’un parallélogramme vérifient-ils ?

Ils sont perpendiculaires et de longueurs différentes.
Ils se coupent en leur milieu respectif.
Ils sont parallèles et les diagonales sont de même longueur.
Ils sont parallèles et de même longueur.

Ils sont parallèles et de même longueur.

Explication

Dans un parallélogramme, chaque paire de côtés opposés est parallèle et de même longueur. Les diagonales ne sont pas nécessairement de même longueur, propriété qui caractérise notamment certains parallélogrammes particuliers.

32. Pour trois points quelconques A, B et C, quelle égalité exprime la relation de Chasles ?

AC→=AB→−BC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}
AB→=AC→+BC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}
AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
BC→=AB→+AC→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$

Explication

La relation de Chasles décompose le déplacement de A vers C en deux déplacements successifs, de A vers B puis de B vers C. Les autres égalités ne respectent pas cette composition vectorielle.

33. Pour additionner AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD}, on choisit un point E tel que BE→=CD→\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CD}. Quel vecteur représente leur somme ?

BD→\overrightarrow{BD}
AE→\overrightarrow{AE}
CE→\overrightarrow{CE}
AC→\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AE}$$

Explication

La construction place le représentant de CD→\overrightarrow{CD} à la suite de AB→\overrightarrow{AB}, ce qui donne AB→+CD→=AE→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}. Les autres vecteurs ne relient pas le point de départ au point d’arrivée de cette construction.

34. Quelle propriété caractérise l’image d’un point M par la translation de vecteur u⃗\vec u ?

Elle est l’unique point M′ tel que MM′→=u⃗\overrightarrow{MM′}=\vec u.
Elle est le point M′ situé à la distance ∥u⃗∥\|\vec u\| de M.
Elle est le point M′ tel que M′M→=u⃗\overrightarrow{M′M}=\vec u.
Elle est le point M′ obtenu en faisant tourner M selon l’angle de u⃗\vec u.

Elle est l’unique point M′ tel que $$\overrightarrow{MM′}=\vec u$$.

Explication

Une translation de vecteur u⃗\vec u associe à M l’unique point M′ dont le vecteur déplacement est MM′→=u⃗\overrightarrow{MM′}=\vec u. La distance seule ou une rotation ne suffit pas à définir cette image, et inverser le vecteur change le sens du déplacement.

35. Une translation transforme une droite en quelle figure et conserve quelles grandeurs ?

Une droite parallèle, en conservant les distances et les angles orientés.
Un segment parallèle, en conservant les angles mais pas les distances.
Une droite quelconque, en conservant les distances mais pas les angles orientés.
Une droite perpendiculaire, en conservant les distances et les longueurs orientées.

Une droite parallèle, en conservant les distances et les angles orientés.

Explication

Une translation préserve les distances et les angles orientés, et l’image d’une droite est une droite parallèle. Elle ne transforme donc pas une droite en segment ni en droite perpendiculaire.

36. Pour une homothétie de centre A et de rapport λ<0\lambda<0, où se situe l’image h(M) par rapport à A et M ?

Sur la demi-droite issue de A contenant M, entre A et M.
Sur le cercle de centre A passant par M.
Sur la demi-droite issue de A opposée à celle contenant M.
Sur la droite perpendiculaire à AM passant par A.

Sur la demi-droite issue de A opposée à celle contenant M.

Explication

La relation Ah(M)→=λAM→\overrightarrow{Ah(M)}=\lambda\overrightarrow{AM} inverse le sens lorsque λ\lambda est négatif, plaçant l’image sur la demi-droite opposée. Un rapport positif conserverait la demi-droite contenant M.

37. Que devient une droite par une homothétie de rapport nul ?

Elle conserve sa direction mais change de longueur.
Elle devient une droite perpendiculaire passant par le centre.
Elle devient une droite parallèle située à distance nulle du centre.
Elle devient un point, car tous ses points sont envoyés au centre.

Elle devient un point, car tous ses points sont envoyés au centre.

Explication

Pour λ=0\lambda=0, chaque point est envoyé au centre de l’homothétie, donc l’image d’une droite est réduite à ce point. La transformation d’une droite en une droite parallèle concerne les rapports non nuls.

38. Dans un triangle ABC rectangle en A, quelle égalité applique le théorème de Pythagore ?

AC2=AB2+BC2AC^2=AB^2+BC^2
AB2=BC2+AC2AB^2=BC^2+AC^2
BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2
BC=AB+ACBC=AB+AC

$$BC^2=AB^2+AC^2$$

Explication

L’angle droit étant en A, le côté opposé BC est l’hypoténuse et vérifie BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2. Les côtés AB et AC sont les deux côtés de l’angle droit, et leurs carrés s’additionnent.

39. Dans un triangle ABC rectangle en A, quelle expression donne sin⁡(∣B^∣)\sin(|\widehat B|) ?

BCAC\frac{BC}{AC}
ABBC\frac{AB}{BC}
ACAB\frac{AC}{AB}
ACBC\frac{AC}{BC}

$$\frac{AC}{BC}$$

Explication

Par rapport à l’angle B, AC est le côté opposé et BC l’hypoténuse, donc sin⁡(∣B^∣)=ACBC\sin(|\widehat B|)=\frac{AC}{BC}. Le rapport ABBC\frac{AB}{BC} correspond au cosinus, tandis que ACAB\frac{AC}{AB} correspond à la tangente.

40. Pour un réel xx dans ]0,π2[]0,\frac{\pi}{2}[, quelle relation relie la tangente au sinus et au cosinus ?

tan⁡(x)=sin⁡(x)+cos⁡(x)\tan(x)=\sin(x)+\cos(x)
tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
tan⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\tan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}
tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x)=\sin(x)\cos(x)

$$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

Explication

Dans cet intervalle, le cosinus est non nul et la tangente vérifie tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}. Le quotient inverse correspond à la cotangente, tandis que la somme et le produit ne donnent pas la tangente.

41. Quelle propriété exprime la périodicité des fonctions sinus et cosinus ?

Leurs valeurs en x+πx+\pi sont toujours les mêmes qu’en x.
Pour tout réel x, leurs valeurs en x+2πx+2\pi sont les mêmes qu’en x.
Leurs valeurs dépendent de l’angle choisi entre 0 et π\pi.
Elles prennent la même valeur pour tous les réels positifs.

Pour tout réel x, leurs valeurs en $$x+2\pi$$ sont les mêmes qu’en x.

Explication

Le sinus et le cosinus sont 2π-périodiques : ajouter un multiple entier de 2π2\pi ne change pas leur valeur. Un décalage de π\pi change généralement le signe, et non la valeur.

42. Quelle caractéristique définit le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé direct ?

C’est un cercle de rayon 1 dont le centre est un point quelconque.
C’est le cercle de diamètre 1 passant par l’origine.
C’est le cercle de centre l’origine et de rayon 1.
C’est le cercle de centre l’origine et de rayon 2π2\pi.

C’est le cercle de centre l’origine et de rayon 1.

Explication

Le cercle trigonométrique est centré à l’origine et possède un rayon égal à 1. Cette normalisation permet d’associer à l’angle x le point de coordonnées (cos⁡(x),sin⁡(x))(\cos(x),\sin(x)).

43. Dans un triangle ABC où a=BCa=BC, b=ACb=AC et c=ABc=AB, quelle formule exprime son aire à l’aide de l’angle C ?

Aire⁡(ABC)=12bccos⁡(C^)\operatorname{Aire}(ABC)=\frac12 bc\cos(\widehat C)
Aire⁡(ABC)=absin⁡(C^)\operatorname{Aire}(ABC)=ab\sin(\widehat C)
Aire⁡(ABC)=12acsin⁡(C^)\operatorname{Aire}(ABC)=\frac12 ac\sin(\widehat C)
Aire⁡(ABC)=12absin⁡(C^)\operatorname{Aire}(ABC)=\frac12 ab\sin(\widehat C)

$$\operatorname{Aire}(ABC)=\frac12 ab\sin(\widehat C)$$

Explication

L’angle C est compris entre les côtés a et b, donc l’aire vaut 12absin⁡(C^)\frac12 ab\sin(\widehat C). Le facteur 12\frac12 est indispensable, et les côtés adjacents à C sont a et b plutôt qu'a et c.

44. Dans un triangle ABC, avec a=BCa=BC, b=ACb=AC et c=ABc=AB, quelle relation exprime le théorème d’Al-Kashi ?

a2=b2−c2−2bccos⁡(A^)a^2=b^2-c^2-2bc\cos(\widehat A)
a2=b2+c2−2accos⁡(B^)a^2=b^2+c^2-2ac\cos(\widehat B)
a2=b2+c2+2bccos⁡(A^)a^2=b^2+c^2+2bc\cos(\widehat A)
a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat A)

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat A)$$

Explication

Le théorème d’Al-Kashi relie le côté opposé à l’angle A^\widehat A aux deux autres côtés et contient le terme −2bccos⁡(A^)-2bc\cos(\widehat A). La relation de Pythagore correspond au cas particulier où l’angle considéré est droit, tandis que les autres expressions modifient incorrectement les signes ou les côtés.

45. Quelle égalité permet de développer le sinus d’une somme de deux réels xx et yy ?

sin⁡(x+y)=cos⁡(x)sin⁡(y)−sin⁡(x)cos⁡(y)\sin(x+y)=\cos(x)\sin(y)-\sin(x)\cos(y)
sin⁡(x+y)=sin⁡(x)cos⁡(y)+cos⁡(x)sin⁡(y)\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)
sin⁡(x+y)=sin⁡(x)sin⁡(y)+cos⁡(x)cos⁡(y)\sin(x+y)=\sin(x)\sin(y)+\cos(x)\cos(y)
sin⁡(x+y)=sin⁡(x)cos⁡(y)−cos⁡(x)sin⁡(y)\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)

$$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$$

Explication

La formule d’addition du sinus associe les produits croisés sin⁡(x)cos⁡(y)\sin(x)\cos(y) et cos⁡(x)sin⁡(y)\cos(x)\sin(y) avec un signe positif. Les autres égalités utilisent des produits ou un signe qui correspondent à d’autres expressions trigonométriques.

46. Quelle expression définit le produit scalaire de deux vecteurs uu et vv ?

⟨u,v⟩=∥u∥ ∥v∥sin⁡(angle⁡(u,v))\langle u,v\rangle=\|u\|\,\|v\|\sin(\operatorname{angle}(u,v))
⟨u,v⟩=∥u∥ ∥v∥cos⁡(angle⁡(u,v))\langle u,v\rangle=\|u\|\,\|v\|\cos(\operatorname{angle}(u,v))
⟨u,v⟩=∥u−v∥cos⁡(angle⁡(u,v))\langle u,v\rangle=\|u-v\|\cos(\operatorname{angle}(u,v))
⟨u,v⟩=∥u∥+∥v∥+cos⁡(angle⁡(u,v))\langle u,v\rangle=\|u\|+\|v\|+\cos(\operatorname{angle}(u,v))

$$\langle u,v\rangle=\|u\|\,\|v\|\cos(\operatorname{angle}(u,v))$$

Explication

Le produit scalaire est un nombre réel obtenu en multipliant les normes des deux vecteurs par le cosinus de l’angle qu’ils forment. Il ne correspond donc ni à une somme de normes, ni à une expression fondée sur le sinus ou la différence des vecteurs.

47. Dans un repère orthonormé, si P=(3,−2)P=(3,-2) et Q=(−1,4)Q=(-1,4), quelle est la valeur de ⟨OP→,OQ→⟩\langle\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle ?

1111
55
−5-5
−11-11

$$-11$$

Explication

Dans un repère orthonormé, on calcule le produit scalaire par xx′+yy′xx'+yy', donc 3×(−1)+(−2)×4=−113\times(-1)+(-2)\times4=-11. La valeur 55 provient d’une combinaison incorrecte des coordonnées et les deux valeurs positives ignorent les signes des produits.

48. Dans un repère orthonormé, quelle est la distance entre l’origine et le point P=(−5,12)P=(-5,12) ?

1717
119\sqrt{119}
77
1313

$$13$$

Explication

La distance à l’origine vaut OP=x2+y2OP=\sqrt{x^2+y^2}, donc OP=(−5)2+122=169=13OP=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{169}=13. Les autres résultats proviennent d’une addition des coordonnées, d’une soustraction des carrés ou d’un calcul numérique erroné.

49. Une droite située à une distance du centre d’un cercle strictement inférieure à son rayon est-elle extérieure, tangente ou sécante ?

Elle est sécante.
Elle est parallèle au rayon.
Elle est extérieure.
Elle est tangente.

Elle est sécante.

Explication

Lorsque la distance du centre à la droite est inférieure au rayon, la droite traverse le cercle en deux points et est donc sécante. Une distance égale au rayon caractérise une tangente, tandis qu’une distance supérieure caractérise une droite extérieure.

50. Un point MM extérieur à un cercle vérifie OM=13OM=13 et le rayon vaut r=5r=5 ; quelle est la longueur commune des deux tangentes issues de MM ?

1212
88
1818
194\sqrt{194}

$$12$$

Explication

La longueur d’une tangente issue de MM est OM2−r2=132−52=144=12\sqrt{OM^2-r^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12. La valeur 88 correspond à la différence des distances, et les autres résultats ne suivent pas la relation métrique des tangentes.

51. Pour deux points distincts AA et BB d’un cercle de centre OO, quelle relation caractérise un point MM appartenant à ce cercle ?

AOB^=2AMB^ [2π]\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}\ [2\pi]
AOB^=AMB^ [2π]\widehat{AOB}=\widehat{AMB}\ [2\pi]
AOB^=12AMB^ [2π]\widehat{AOB}=\frac12\widehat{AMB}\ [2\pi]
AOB^=2AMB^ [π]\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}\ [\pi]

$$\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}\ [2\pi]$$

Explication

L’angle au centre interceptant l’arc ABAB mesure le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc, d’où la relation modulo 2π2\pi. Les autres propositions inversent le facteur, suppriment le rapport entre les angles ou modifient le modulo indiqué.

52. Quels sont l’affixe et les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} lorsqu'A et B ont pour affixes z_A et z_B ?

L’affixe est zBz_B et les coordonnées sont (xB,yB)(x_B,y_B)
L’affixe est zB−zAz_B-z_A et les coordonnées sont (xB−xA,yB−yA)(x_B-x_A,y_B-y_A)
L’affixe est zA+zBz_A+z_B et les coordonnées sont (xA+xB,yA+yB)(x_A+x_B,y_A+y_B)
L’affixe est zA−zBz_A-z_B et les coordonnées sont (xA−xB,yA−yB)(x_A-x_B,y_A-y_B)

L’affixe est $$z_B-z_A$$ et les coordonnées sont $$(x_B-x_A,y_B-y_A)$$

Explication

Un vecteur se détermine par la différence entre l’extrémité et l’origine, d’où l’affixe zB−zAz_B-z_A et les coordonnées correspondantes. L’affixe zBz_B décrit le point B, non le vecteur \overrightarrow{AB}.

53. Dans un repère orthonormé, comment calcule-t-on la distance entre deux points d’affixes z_A et z_B ?

On calcule ∣zB−zA∣|z_B-z_A|
On calcule ∣zA∣+∣zB∣|z_A|+|z_B|
On calcule zB−zAz_B-z_A sans prendre son module
On calcule ∣zA+zB∣|z_A+z_B|

On calcule $$|z_B-z_A|$$

Explication

La distance entre les deux points est le module de l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}, soit AB=∣zB−zA∣AB=|z_B-z_A|. Le module de la somme des affixes ne représente pas cette distance en général.

54. Quelle équation décrit le cercle de centre d’affixe ω=x0+iy0\omega=x_0+iy_0 et de rayon r dans le plan complexe ?

∣z∣+∣ω∣=r|z|+|\omega|=r, soit x2+y2+x02+y02=r2x^2+y^2+x_0^2+y_0^2=r^2
∣z−ω∣=r|z-\omega|=r, soit (x−x0)2+(y−y0)2=r2(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2
∣z+ω∣=r|z+\omega|=r, soit (x+x0)2+(y+y0)2=r2(x+x_0)^2+(y+y_0)^2=r^2
∣z−ω∣=r2|z-\omega|=r^2, soit (x−x0)2+(y−y0)2=r(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r

$$|z-\omega|=r$$, soit $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$

Explication

La distance entre le point d’affixe z et le centre d’affixe ω\omega vaut ∣z−ω∣|z-\omega|, et elle doit être égale à r. L’écriture avec une somme modifierait le centre du cercle au lieu de mesurer la distance au centre donné.

55. Quelle expression complexe représente une translation de vecteur d’affixe w ?

t(z)=z‾+wt(z)=\overline z+w
t(z)=z+wt(z)=z+w
t(z)=z−wt(z)=z-w
t(z)=wzt(z)=wz

$$t(z)=z+w$$

Explication

Une translation ajoute à chaque affixe l’affixe w du vecteur de translation, ce qui donne t(z)=z+wt(z)=z+w. La multiplication par w correspond à une autre transformation, tandis que la conjugaison intervient dans les transformations indirectes.

56. Une homothétie de rapport réel λ≠1\lambda\neq1 est donnée par h(z)=λz+wh(z)=\lambda z+w. Quelle est l’affixe de son centre ?

zC=w1−λz_C=\frac{w}{1-\lambda}
zC=1−λwz_C=\frac{1-\lambda}{w}
zC=λwz_C=\lambda w
zC=wλ−1z_C=\frac{w}{\lambda-1}

$$z_C=\frac{w}{1-\lambda}$$

Explication

Le centre est le point fixe de l’homothétie : résoudre z=λz+wz=\lambda z+w donne zC=w1−λz_C=\frac{w}{1-\lambda}. L’expression wλ−1\frac{w}{\lambda-1} en est l’opposé et ne satisfait pas l’équation du point fixe.

57. Quelle forme complexe représente une rotation d’angle α et de centre d’affixe z_C ?

r(z)=λz+wr(z)=\lambda z+w avec zC=w1−λz_C=\frac{w}{1-\lambda}
r(z)=eiαz+wr(z)=e^{i\alpha}z+w avec zC=w1−eiαz_C=\frac{w}{1-e^{i\alpha}}
r(z)=e2iαz‾+wr(z)=e^{2i\alpha}\overline z+w avec zC=w1−e2iαz_C=\frac{w}{1-e^{2i\alpha}}
r(z)=z+wr(z)=z+w avec zC=wz_C=w

$$r(z)=e^{i\alpha}z+w$$ avec $$z_C=\frac{w}{1-e^{i\alpha}}$$

Explication

Une rotation s’écrit comme une multiplication par le complexe de module 1 eiαe^{i\alpha} suivie d’une translation, avec zC=w1−eiαz_C=\frac{w}{1-e^{i\alpha}}. La forme avec un rapport réel décrit une homothétie, tandis que la conjugaison caractérise une symétrie axiale.

58. Comment reconnaît-on qu’une isométrie du plan est directe ?

Elle possède un axe de symétrie qui dirige une translation
Elle préserve les angles orientés
Elle change le signe de tout angle orienté
Elle conserve les affixes sans modifier les distances

Elle préserve les angles orientés

Explication

Une isométrie directe conserve l’orientation des angles, ce qui signifie que les angles orientés gardent leur signe. Le changement de signe caractérise une isométrie indirecte, et les autres propriétés ne définissent pas la distinction demandée.

59. Quelle propriété caractérise une isométrie indirecte ?

Elle possède un centre qui reste fixe pour tout point
Elle préserve les angles orientés
Elle transforme chaque affixe par une addition réelle
Elle change le signe de tout angle orienté

Elle change le signe de tout angle orienté

Explication

Une isométrie indirecte inverse l’orientation et change donc le signe de tout angle orienté. Préserver les angles orientés correspond au contraire à une isométrie directe.

60. Laquelle de ces expressions décrit une isométrie directe du plan complexe ?

f(z)=λz+wf(z)=\lambda z+w avec λ∈R\lambda\in\mathbb{R} et λ≠1\lambda\neq1
f(z)=e2iαz‾+wf(z)=e^{2i\alpha}\overline z+w avec α∈R\alpha\in\mathbb{R}
f(z)=eiαz‾+wf(z)=e^{i\alpha}\overline z+w avec α∈R\alpha\in\mathbb{R} et w∈Cw\in\mathbb{C}
f(z)=eiαz+wf(z)=e^{i\alpha}z+w avec α∈R\alpha\in\mathbb{R} et w∈Cw\in\mathbb{C}

$$f(z)=e^{i\alpha}z+w$$ avec $$\alpha\in\mathbb{R}$$ et $$w\in\mathbb{C}$$

Explication

Une isométrie directe a la forme f(z)=eiαz+wf(z)=e^{i\alpha}z+w, où la multiplication par eiαe^{i\alpha} conserve l’orientation. La présence de z‾\overline z dans les autres formes proposées caractérise une transformation indirecte ou une symétrie axiale.

61. Quelle forme complexe décrit une isométrie indirecte du plan ?

f(z)=eiαz+wf(z)=e^{i\alpha}z+w avec α∈R\alpha\in\mathbb{R} et w∈Cw\in\mathbb{C}
f(z)=eiαz‾+wf(z)=e^{i\alpha}\overline z+w avec α∈R\alpha\in\mathbb{R} et w∈Cw\in\mathbb{C}
f(z)=z+wf(z)=z+w avec w∈Cw\in\mathbb{C}
f(z)=λz+wf(z)=\lambda z+w avec λ∈R\lambda\in\mathbb{R}

$$f(z)=e^{i\alpha}\overline z+w$$ avec $$\alpha\in\mathbb{R}$$ et $$w\in\mathbb{C}$$

Explication

La conjugaison de z dans f(z)=eiαz‾+wf(z)=e^{i\alpha}\overline z+w inverse l’orientation, ce qui définit la forme d’une isométrie indirecte. Une expression sans conjugaison, comme eiαz+we^{i\alpha}z+w, correspond à une isométrie directe.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 75 flashcards sur Trigonométrie et géométrie complexe.

Qu'est-ce que le plan en géométrie ?

Un ensemble non vide P avec points, droites et autres objets.

Qu'impose la méthode axiomatique en géométrie ?

D'accepter des axiomes sans démonstration puis déduire logiquement.

Que faut-il définir précisément dans la méthode axiomatique ?

Les notions utilisées avant de déduire des propositions.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Trigonométrie et géométrie complexe.

Voir la fiche →

Cours similaires

Matière énergie et information

Exploration des anomalies lipidiques

Indicateurs de santé publique

Corps purs et mélanges

Chimie

Couleur et dosage spectrophotométrique

Physique

Tangente et nombre dérivé

Mathématiques

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM