Qu'est-ce que le plan en géométrie ?
Un ensemble non vide P avec points, droites et autres objets.
Qu'impose la méthode axiomatique en géométrie ?
D'accepter des axiomes sans démonstration puis déduire logiquement.
Que faut-il définir précisément dans la méthode axiomatique ?
Les notions utilisées avant de déduire des propositions.
Quelle géométrie est étudiée dans ce cours ?
La géométrie du plan.
Dans quel cours la géométrie de l’espace est-elle abordée ?
Dans le cours d’algèbre HAX102X.
Que contiennent systématiquement les épreuves de contrôle continu ?
Des questions de cours sur définitions, théorèmes et démonstrations.
Combien de droites passent par deux points distincts A et B ?
Une unique droite passe par A et B.
Quelles sont les trois configurations possibles entre deux droites ?
Elles sont disjointes, sécantes en un point ou confondues.
Qu'impose Euclide sur une droite Δ et un point M ?
Une unique droite parallèle à Δ passant par M existe.
Qu'est-ce que la distance en géométrie ?
Une application vérifiant l'inégalité triangulaire, la symétrie, la séparation, le critère d'alignement et l'existence de deux points à toute distance positive.
Comment se définit le segment [AB] ?
L'ensemble des points M tels qu'AB = AM + MB.
Quelle est la longueur du segment [AB] ?
La distance AB.
Qu'est-ce que le milieu du segment [AB] ?
L'unique point M tel qu'AM = MB = AB/2.
Comment se définit un cercle C(O,R) ?
L'ensemble des points M tels que d(O,M) = R.
Qu'est-ce qu'un angle orienté du triplet (A,O,B) ?
C'est le couple de demi-droites ([OA),[OB)) avec mesure dans ℝ/2πℤ.
Quelle est la mesure de l'angle non orienté formé par (A,O,B) ?
C'est la valeur absolue de la détermination principale de l'angle orienté, dans [0,π].
Quand un angle est-il aigu, obtus ou droit ?
Il est aigu si < π/2, obtus si > π/2, droit si = π/2.
Qu'est-ce que la bissectrice d'un angle non orienté < π ?
C'est l'unique demi-droite qui partage l'angle en deux angles égaux.
Quand un triangle ABC est-il dégénéré ?
Lorsque ses trois points sont alignés.
Qu'est-ce qu'un triangle ABC ?
Trois points deux à deux distincts.
Quand deux triangles non dégénérés sont-ils isométriques ?
S'ils vérifient l'un des critères CCC, CAC ou ACA.
Que signifient les critères CCC, CAC et ACA pour l'isométrie ?
Trois côtés égaux, deux côtés adjacents et angle compris égaux, ou un côté et deux angles adjacents égaux.
Qu'est-ce qu'un demi-plan défini par une droite Δ ?
Un demi-plan est l'ensemble des points du plan du même côté de Δ qu'un point de référence.
De quoi le plan est-il la réunion disjointe selon une droite Δ ?
Le plan est la réunion disjointe des deux demi-plans définis par Δ et de la droite Δ elle-même.
Quelle propriété géométrique ont les demi-plans définis par une droite ?
Ils sont convexes, tout segment entre deux points du même demi-plan y reste inclus.
Que se passe-t-il si A et B sont dans deux demi-plans opposés définis par Δ ?
Le segment [AB] rencontre la droite Δ.
Combien de médianes se coupent dans un triangle non dégénéré ?
Deux médianes se coupent dans un triangle non dégénéré.
Qu'est-ce que la fonction aire ?
Une application des parties bornées du plan vers R+ normalisée, additive et invariante par isométrie des triangles.
Quelle formule donne l'aire d'un rectangle ABCD ?
Que déduit-on de l'additivité de la fonction aire ?
Si P est inclus dans Q, alors .
Quelle est l'aire d'un segment ?
Elle est nulle.
Qu'est-ce qu'une isométrie du plan ?
Une application bijective qui préserve les distances entre tous les points.
Que devient une droite par une isométrie ?
Elle est transformée en une droite.
Qu'impose une isométrie sur les distances entre points ?
Elle conserve la distance entre tous les points A et B.
Qu'impose une isométrie sur les angles non orientés ?
Elle conserve la mesure absolue des angles.
Qu'est-ce qu'une symétrie centrale de centre O ?
C'est une application qui associe à A un point s(A) avec O milieu de [As(A)].
Quelles propriétés a une symétrie centrale ?
C'est une isométrie qui transforme droites en droites parallèles ou confondues et préserve les angles orientés.
Qu'impose le parallélisme pour deux droites coupées par une sécante ?
L'égalité des angles alternes-internes orientés ou non.
Combien de droites perpendiculaires passent par un point donné ?
Une unique droite perpendiculaire.
Qu'est-ce que la projection orthogonale sur une droite Δ ?
L'unique point d'intersection de Δ avec la perpendiculaire à Δ passant par M.
Quelle formule donne l'aire du triangle ABC avec la hauteur issue de A ?
Que vaut la somme des mesures des angles non orientés d'un triangle ?
Quelle égalité de rapports donne Thalès dans un triangle ABC avec MN parallèle à BC?
Que garantit la réciproque de Thalès si un rapport d'égalité est vrai?
La droite (MN) est parallèle à (BC).
Que vaut la longueur de MN si M et N sont milieux de AB et AC?
Quelle propriété de (MN) si M et N sont milieux de AB et AC?
La droite (MN) est parallèle à (BC).
Quand deux triangles sont-ils semblables?
Quand ils ont les mêmes mesures d’angles correspondants.
Quelle condition caractérise la similitude par les côtés?
Les côtés correspondants sont proportionnels.
Quelle autre condition, avec un angle, caractérise la similitude?
Deux rapports de côtés égaux et un angle compris égal.
Quelle condition caractérise un parallélogramme ABCD ?
Ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
Que peut-on dire des côtés opposés dans un parallélogramme ?
Ils sont parallèles et de même longueur.
Qu'est-ce qu'un vecteur du plan ?
Une classe d’équipollence de couples de points formant un parallélogramme.
Que donne la relation de Chasles pour trois points A, B et C ?
.
Comment additionne-t-on deux vecteurs et ?
On choisit E tel que et pose .
Qu'est-ce qu'une translation de vecteur ?
C'est l'application qui associe à tout point M le point M' tel que .
Quelles propriétés une translation préserve-t-elle ?
Elle préserve les distances, les droites parallèles et les angles orientés.
Qu'est-ce qu'une homothétie de centre A et de rapport ?
C'est l'application qui associe à M le point h(M) tel que .
Que fait une homothétie de rapport sur les distances ?
Elle multiplie toutes les distances par .
Quelles propriétés une homothétie non nulle préserve-t-elle ?
Elle transforme une droite en une droite parallèle et préserve les angles orientés.
Comment s'exprime un point M dans un repère ?
On écrit avec des coordonnées uniques .
Quelle condition caractérise un triangle ABC rectangle en A ?
Comment s'exprime le cosinus de l'angle en B dans un triangle rectangle ABC en A ?
Comment s'exprime le sinus de l'angle en B dans un triangle rectangle ABC en A ?
Comment s'exprime la tangente de l'angle en B dans un triangle rectangle ABC en A ?
Quelle relation lie la tangente, le sinus et le cosinus pour tout x dans ]0,π/2[ ?
Quelle identité fondamentale relie le cosinus et le sinus pour tout x dans ]0,π/2[ ?
Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?
Elles sont -périodiques.
Quelles sont les coordonnées du point associé à l’angle x sur le cercle trigonométrique de rayon 1 ?
Qu'est-ce que le cercle trigonométrique ?
Un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé direct.
Quelles sont les coordonnées du point associé à un angle x sur le cercle trigonométrique ?
(cos(x), sin(x)).
Quand un point N appartient-il à la demi-droite issue de O passant par M(cos(x), sin(x)) ?
Si ses coordonnées sont (λ cos(x), λ sin(x)) avec λ>0.
Que signifie que l'angle orienté de N vérifie l'égalité modulo 2π ?
Que N est sur la demi-droite issue de O passant par M(cos(x), sin(x)).
Quelle formule donne l'aire d'un triangle ABC en fonction de deux côtés et de l'angle opposé ?
.
Comment exprimer l'aire du triangle ABC avec les côtés a et c ?
.
Comment exprimer l'aire du triangle ABC avec les côtés b et c ?
.
Teste tes connaissances avec un QCM de 61 questions sur Trigonométrie et géométrie complexe.
1. Comment le plan géométrique est-il défini ?
2. Quelle succession d’étapes caractérise la méthode axiomatique en géométrie ?
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