Fiche de révision : Trigonométrie et géométrie complexe

📋 Plan du Cours

1. Axiomes et méthode géométrique
2. Points droites et distance
3. Angles triangles et isométrie
4. Position par rapport aux droites
5. Aires et premières isométries
6. Isométries et symétries centrales
7. Angles, perpendiculaires et triangles
8. Thalès et triangles semblables
9. Parallélogrammes et vecteurs
10. Translations, angles et repères
11. Pythagore et trigonométrie
12. Cercle trigonométrique et trigonométrie
13. Triangles et formules trigonométriques
14. Produit scalaire dans le plan
15. Cercles, tangentes et angles
16. Géométrie et transformations complexes
17. Isométries du plan
18. Classification des isométries du plan

📖 1. Axiomes et méthode géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan : Ensemble non vide P auquel sont associés des points, des droites et d’autres objets géométriques.

★ À maîtriser

• 🔄 La méthode axiomatique suit trois étapes:

  1. accepter des axiomes sans démonstration
  2. définir précisément les notions utilisées
  3. déduire logiquement les propositions

• Les épreuves de contrôle continu contiennent systématiquement des questions de cours portant sur des définitions, des énoncés de théorèmes ou propositions et des démonstrations.

Compléments

• Dans ce cours, la géométrie étudiée est celle du plan, tandis que la géométrie de l’espace sera notamment abordée dans le cours d’algèbre HAX102X.

💡 Astuce mémo

Axiomes → définitions → propositions → démonstrations

📖 2. Points droites et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : La distance est une application d : P × P → R+ qui vérifie l’inégalité triangulaire, la symétrie, la séparation, le critère d’alignement par égalité triangulaire et l’existence de deux points à toute distance positive sur une droite.
• Segment : Ensemble des points M tels que AB = AM + MB, et sa longueur est la distance AB.
• Milieu : Unique point M tel que AM = MB = AB/2.
• Cercle : Ensemble des points M du plan tels que d(O,M)=R.

📝 Points essentiels

📌 Par deux points distincts A et B du plan passe une unique droite, notée (AB).

• Deux droites ont exactement trois configurations possibles:
  • elles sont disjointes
  • elles sont sécantes en un unique point
  • elles sont confondues

📌 Par une droite Δ et un point M du plan passe une unique droite parallèle à Δ contenant M. — Euclide

💡 Astuce mémo

Droites sécantes ou parallèles ; distance nulle seulement pour deux points confondus

📖 3. Angles triangles et isométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle orienté : Couple de demi-droites ([OA),[OB)), dont la mesure appartient à R/2πZ.
• Angle non orienté : Valeur absolue de la détermination principale de l’angle orienté et appartient à [0,π].
• Bissectrice : Unique demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
• Triangle : Donnée de trois points deux à deux distincts ; il est dégénéré lorsque ces trois points sont alignés.

📝 Points essentiels

• Un angle est:

  • aigu si sa mesure est inférieure à π/2
  • obtus si sa mesure est supérieure à π/2
  • droit si sa mesure est égale à π/2

• Les trois critères d’isométrie des triangles sont:

  • CCC : trois côtés de même longueur
  • CAC : deux côtés adjacents et l’angle compris de même mesure
  • ACA : un côté et les deux angles adjacents de même mesure

💡 Astuce mémo

CCC, CAC, ACA : trois critères d’isométrie

📖 4. Position par rapport aux droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Demi-plan : Ensemble des points du plan qui sont du même côté de Δ qu’un point de référence.

★ À maîtriser

📌 Le plan est la réunion disjointe des deux demi-plans définis par une droite Δ et de la droite Δ elle-même.

📌 Les deux demi-plans définis par une droite sont convexes : tout segment joignant deux points d’un même demi-plan y reste inclus.

Compléments

• Si A et B appartiennent à deux demi-plans opposés définis par Δ, alors le segment [AB] rencontre Δ.

• Dans un triangle non dégénéré, deux médianes se coupent.

💡 Astuce mémo

Segment coupant une droite → séparation en deux demi-plans convexes

📖 5. Aires et premières isométries

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction aire : Application des parties bornées du plan vers R+ qui est normalisée sur les rectangles, additive sur les parties disjointes et invariante par isométrie des triangles.
• Isométrie : Application bijective du plan dans lui-même qui préserve les distances entre tous les couples de points.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’aire d’un rectangle ABCD vérifie $A(ABCD)=AB\times BC$.

📌 L’image d’une droite par une isométrie est une droite.

Compléments

📌 L’additivité de la fonction aire implique sa monotonie : si P est inclus dans Q, alors A(P) ≤ A(Q).

• L’aire d’un segment est nulle.

💡 Astuce mémo

Aire : additive et invariante ; isométrie : bijective et conserve les distances

📖 6. Isométries et symétries centrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Isométrie du plan : application bijective du plan dans lui-même qui préserve les distances, c’est-à-dire que $f(A)f(B)=AB$ pour tous les points A et B.
• Symétrie centrale : application qui associe à tout point A l’unique point s(A) tel que O soit le milieu de [As(A)].

📝 Points essentiels

📌 Une isométrie préserve les angles non orientés : pour tous A, B et C, on a $|\widehat{f(A)f(B)f(C)}|=|\widehat{ABC}|$.

📌 Une symétrie centrale est une isométrie, transforme toute droite en une droite parallèle ou confondue avec elle et préserve les angles orientés.

💡 Astuce mémo

Une isométrie conserve les distances ; une symétrie centrale ajoute un centre fixe et inverse les directions.

📖 7. Angles, perpendiculaires et triangles

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : application qui associe à tout point M l’unique point d’intersection de Δ avec la perpendiculaire à Δ passant par M.

📝 Points essentiels

📌 Pour deux droites coupées par une sécante, le parallélisme est équivalent à l’égalité des angles alternes-internes orientés ou non orientés dans la configuration considérée.

📌 Par un point donné, il existe une unique droite perpendiculaire à une droite donnée.

📐 Formule — L’aire d’un triangle ABC vérifie $\mathcal A(ABC)=\frac{BC\times AH_A}{2}$, où H_A est le pied de la hauteur issue de A.

📐 Formule — La somme des mesures des angles non orientés d’un triangle vaut $|\widehat A|+|\widehat B|+|\widehat C|=\pi$.

💡 Astuce mémo

Parallélisme → angles alternes-internes égaux → construction unique de la perpendiculaire.

📖 8. Thalès et triangles semblables

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : triangles qui ont les mêmes mesures d’angles correspondants.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si une droite parallèle à (BC) coupe (AB) en M et (AC) en N dans un triangle ABC non dégénéré, alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📌 Dans la réciproque de Thalès, si M appartient à la demi-droite [AB) et N à la demi-droite [AC), une des égalités de rapports de Thalès implique que (MN) est parallèle à (BC).

📐 Formule — Si M et N sont les milieux respectifs de [AB] et [AC], alors (MN) est parallèle à (BC) et $MN=\frac{BC}{2}$.

📌 Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs côtés correspondants sont proportionnels, ou si deux rapports de côtés correspondants sont égaux et qu’un angle compris correspondant est égal.

💡 Astuce mémo

Parallèle → rapports de longueurs → réciproque → triangles semblables.

📖 9. Parallélogrammes et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallélogramme : quadrilatère dont les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
• Vecteur du plan : classe d’équipollence de couples de points, deux couples étant équipollents lorsque le quadrilatère formé est un parallélogramme.
• Addition de vecteurs : Pour additionner deux vecteurs représentés par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, on choisit E tel que $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CD}$ et on pose $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}$.

📝 Points essentiels

📌 Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

📌 La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ pour tous les points A, B et C.

💡 Astuce mémo

Un parallélogramme fait glisser une flèche : même direction, même sens et même longueur.

📖 10. Translations, angles et repères

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : application qui associe à tout point M l’unique point M′ tel que $\overrightarrow{MM′}=\vec u$.
• Homothétie : application qui associe à M l’unique point h(M) tel que $\overrightarrow{Ah(M)}=\lambda\overrightarrow{AM}$.
• Coordonnées dans un repère : Dans un repère du plan $(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$, tout point M s’écrit de manière unique $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$, et (x,y) sont ses coordonnées.

📝 Points essentiels

📌 Une translation préserve les distances, transforme une droite en une droite parallèle et préserve les angles orientés.

📌 Une homothétie de rapport λ multiplie toutes les distances par |λ| ; si λ est non nul, elle transforme une droite en une droite parallèle et préserve les angles orientés.

💡 Astuce mémo

Une translation conserve les distances ; une homothétie les multiplie par |λ|.

📖 11. Pythagore et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : cercle de rayon 1 sur lequel le point associé à l’angle x a pour coordonnées (cos(x), sin(x)).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si $BC^2=AB^2+AC^2$.

📐 Formule — Dans un triangle rectangle ABC en A, on a $\cos(|\widehat B|)=\frac{AB}{BC}$, $\sin(|\widehat B|)=\frac{AC}{BC}$ et $\tan(|\widehat B|)=\frac{AC}{AB}$.

📐 Formule — Pour tout x dans ]0,π/2[, on a $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ et $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

• Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques : elles ne dépendent que de la classe de x modulo 2π.

💡 Astuce mémo

CAH-SOH-TOA : Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Sinus = Opposé/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.

📖 12. Cercle trigonométrique et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle de rayon 1 centré à l’origine d’un repère orthonormé direct, et le point associé à x a pour coordonnées (cos(x), sin(x)).

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un triangle ABC de côtés a=BC, b=AC et c=AB, son aire vérifie $\operatorname{Aire}(ABC)=\frac12 ab\sin(\widehat C)=\frac12 ac\sin(\widehat B)=\frac12 bc\sin(\widehat A).$

Compléments

📌 Pour x réel et M de coordonnées (cos(x), sin(x)), un point N appartient à la demi-droite issue de O passant par M si et seulement si ses coordonnées sont (λ cos(x), λ sin(x)) pour un réel λ>0, ce qui équivaut à dire que son angle orienté vérifie l’égalité modulo 2π.

💡 Astuce mémo

Un point M tourne sur le cercle unité : ses coordonnées donnent (cos x, sin x).

📖 13. Triangles et formules trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un triangle ABC, le théorème d’Al-Kashi donne $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat A),$ avec a=BC, b=AC et c=AB.

📐 Formule — Pour tous réels x et y, les formules d’addition sont $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$ et $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y).$

Compléments

📐 Formule — Le cosinus de l’angle A d’un triangle vérifie $\cos(\widehat A)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$

📐 Formule — Pour tout réel x, les formules d’angle double sont $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ et $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x).$

💡 Astuce mémo

Addition des angles → formules de sinus et cosinus → formules d’angles doubles.

📖 14. Produit scalaire dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre réel $\langle u,v\rangle=\|u\|\,\|v\|\cos(\operatorname{angle}(u,v)).$

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, si P=(x,y) et Q=(x′,y′), alors $\langle\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle=xx′+yy′.$

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, la distance du point P=(x,y) à l’origine vérifie $OP=\sqrt{x^2+y^2}.$

Compléments

• Le produit scalaire est bilinéaire et symétrique : $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.$

💡 Astuce mémo

Repère orthonormé : le produit scalaire devient xx′ + yy′, contrairement à un repère quelconque.

📖 15. Cercles, tangentes et angles

★ À maîtriser

• Pour un cercle de centre O et de rayon r, une droite dont la distance OM au centre est supérieure à r est extérieure, égale à r est tangente, et inférieure à r est sécante.

• Si M est extérieur à un cercle de centre O et de rayon r, il existe exactement deux tangentes passant par M, leurs points de tangence T et T′ vérifient $MT=MT′=\sqrt{OM^2-r^2},$ et la demi-droite [MO) est la bissectrice de l’angle TMT′.

• Pour deux points distincts A et B d’un cercle de centre O, un point M appartient au cercle si et seulement si $\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}\ [2\pi].$

Compléments

📌 Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si le triangle AMB est rectangle en M.

📐 Formule — Si deux droites coupent un cercle en A,B et C,D, l’angle entre les droites vérifie $(\Delta,\Delta′)=\frac12(\widehat{AOC}+\widehat{BOD})\ [\pi].$

💡 Astuce mémo

OM>r : extérieure ; OM=r : tangente ; OM<r : sécante.

📖 16. Géométrie et transformations complexes

★ À maîtriser

• Dans le plan complexe, le vecteur \overrightarrow{AB} a pour affixe z_B-z_A et pour coordonnées (x_B-x_A,y_B-y_A).

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points d’affixes z_A et z_B est $AB=|z_B-z_A|.$

📐 Formule — Un cercle de centre d’affixe ω et de rayon r est décrit par $|z-\omega|=r,$ ce qui équivaut en coordonnées à $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2.$

Compléments

📐 Formule — Une droite est décrite par une équation complexe de la forme $\operatorname{Re}(wz)=c,$ avec w non nul et c réel.

💡 Astuce mémo

Translation, homothétie, rotation, symétrie axiale, symétrie glissée.

📖 17. Isométries du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie glissée : La composée d’une symétrie axiale et d’une translation non nulle suivant un vecteur qui dirige l’axe de la symétrie.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une translation de vecteur d’affixe w s’écrit dans le plan complexe $t(z)=z+w.$

📐 Formule — Une homothétie de rapport réel λ différent de 1 s’écrit $h(z)=\lambda z+w,$ et son centre a pour affixe $z_C=\frac{w}{1-\lambda}.$

📐 Formule — Une rotation d’angle α et de centre d’affixe zC s’écrit $r(z)=e^{i\alpha}z+w,$ avec $z_C=\frac{w}{1-e^{i\alpha}}.$

Compléments

📐 Formule — Une symétrie axiale s’écrit sous la forme $s(z)=e^{2i\alpha}\overline z+w,$ où α est l’angle de l’axe avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Isométrie directe : eiαz+w ; isométrie indirecte : eiα z̄+w.

📖 18. Classification des isométries du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Isométrie directe : préserve les angles orientés
• Isométrie indirecte : change le signe de tout angle orienté
• Nombre complexe : une expression de la forme $x+iy$ avec $x,y\in\mathbb{R}$ et $i^2=-1$
• Partie réelle et imaginaire : Pour $z=x+iy$, la partie réelle est $\operatorname{Re}(z)=x$ et la partie imaginaire est $\operatorname{Im}(z)=y$.
• Conjugué : le nombre complexe $\overline z=x-iy$
• Module : Le module de $z=x+iy$ est le réel positif $|z|=\sqrt{z\overline z}=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Écriture trigonométrique : Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme $z=\rho e^{i\theta}$ avec $\rho=|z|>0$ et $\theta$ défini modulo $2\pi$.
• Argument : Pour $z\neq0$, un argument de z est tout réel $\theta$ tel que $z=|z|e^{i\theta}$, et il est défini modulo $2\pi$ ; l’argument n’est pas défini pour $z=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une isométrie directe de l’application du plan complexe s’écrit $f(z)=e^{i\alpha}z+w$ avec $\alpha\in\mathbb{R}$ et $w\in\mathbb{C}$.

📐 Formule — Une isométrie indirecte de l’application du plan complexe s’écrit $f(z)=e^{i\alpha}\overline{z}+w$ avec $\alpha\in\mathbb{R}$ et $w\in\mathbb{C}$.

• Toute isométrie du plan est exactement une translation, une rotation, une symétrie axiale ou une symétrie glissée.

Compléments

📌 La composée de deux isométries directes ou de deux isométries indirectes est directe, tandis que la composée d’une isométrie directe et d’une isométrie indirecte est indirecte, quel que soit l’ordre de composition.

📐 Formule — Le module est multiplicatif : $|zz'|=|z||z'|$, et il vérifie l’inégalité triangulaire $|z+z'|\leq |z|+|z'|$.

📐 Formule — Pour des complexes non nuls, les arguments vérifient modulo $2\pi$ : $\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')$, $\arg(1/z)\equiv-\arg(z)$ et $\arg(\overline z)\equiv-\arg(z)$.

💡 Astuce mémo

Directe : conserve l’orientation ; indirecte : la renverse.

📊 Tableaux de synthèse

Critères d’isométrie des triangles

Transformations du plan