Fiche de révision : Théorie de l’échantillonnage

📋 Plan du Cours

1. Buts de l’échantillonnage
2. Précision et coût d’échantillonnage
3. Intervalle de confiance et risque
4. Échantillonnage aléatoire simple
5. Échantillonnage stratifié
6. Échantillonnage en grappes

📖 1. Buts de l’échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• But de l’échantillonnage : Estimer des quantités par inférence et comparer des quantités dans différents contextes.

★ À maîtriser

• L’échantillonnage permet de déduire les propriétés de la population totale à partir des propriétés de l’échantillon.

Compléments

• Des tests statistiques servent à comparer les quantités et à déterminer si leur différence est due au hasard ou à un effet réel du contexte.

💡 Astuce mémo

Échantillon observé → propriétés de la population inférées

📖 2. Précision et coût d’échantillonnage

★ À maîtriser

📌 Un échantillonnage utile doit rechercher simultanément la précision, la représentativité et l’optimisation de l’effort.

📌 Un grand échantillon, noté n grand, améliore la précision mais augmente le coût total de l’échantillonnage.

Compléments

📐 Formule — Le coût total de l’échantillonnage vérifie $CT = C_0 + nc$.

📌 Lorsque la variance entre les individus est faible, la taille nécessaire de l’échantillon et le coût peuvent être faibles.

💡 Astuce mémo

Grand échantillon : précision accrue, mais coût accru

📖 3. Intervalle de confiance et risque

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance : Construit autour de la moyenne observée, utilise la variance observée et définit l’intervalle raisonnable dans lequel la moyenne vraie peut se situer au risque 1-α.
• Risque d’erreur : Le risque accepté de conclure que la moyenne est hors de l’intervalle alors qu’elle est vraie.

★ À maîtriser

• Un risque d’erreur de 5 % correspond à un niveau de confiance de 95 % : sur 100 échantillons de même taille tirés au sort, 95 moyennes estimées seraient comprises dans l’intervalle.

Compléments

• Le coefficient $Z_{\alpha/2}$ dépend du niveau de confiance et provient de la loi normale centrée réduite.

• Pour la taille d’une tige de pissenlit, l’intervalle peut être présenté comme 15 cm ± 2 cm, soit 15 cm ± 13 %.

💡 Astuce mémo

La moyenne observée au centre d’un intervalle qui encadre la moyenne vraie

📖 4. Échantillonnage aléatoire simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage aléatoire simple : Tous les individus sont équivalents, chacun a la même probabilité a priori d’être choisi, les tirages sont indépendants et le nombre d’individus est fixé à l’avance.

★ À maîtriser

📌 Avec remise, un individu peut être échantillonné plusieurs fois et la probabilité de sélection reste constante ; sans remise, chaque individu n’est échantillonné qu’une fois et la probabilité de sélection s’accroît au cours de l’échantillonnage.

• Pour déterminer la taille d’un échantillon, il faut définir le risque et la précision désirés, déterminer la variance de la population, puis déterminer n.

📐 Formule — La taille nécessaire pour une précision absolue d vérifie $n = \frac{z_{\alpha/2}^2\sigma^2}{d^2}$.

Compléments

• Avec une variance de 0,08, une précision absolue de 0,04 et un risque de 5 % pour lequel z = 1,96, l’effectif nécessaire est n = 192.

💡 Astuce mémo

Objectif → variance → taille n

📖 5. Échantillonnage stratifié

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage stratifié : Divise la population en sous-populations plus homogènes, appelées strates, afin d’améliorer la précision.
• Strates : Une partition de la population : elles sont disjointes, ne se chevauchent pas et leur réunion constitue la population totale.

★ À maîtriser

📌 Le poids d’une strate est la proportion de la population totale qu’elle représente, tandis que l’allocation est la proportion de cette strate dans l’échantillon.

Compléments

• Dans un échantillonnage stratifié, les variances intra-strates sont inférieures à la variance totale : $\sigma^2 > \sigma_1^2$, $\sigma^2 > \sigma_2^2$ et $\sigma^2 > \sigma_3^2$.

📌 L’allocation est dite proportionnelle lorsque la proportion d’une strate dans l’échantillon est égale à son poids dans la population.

📐 Formule — Le coût total d’un échantillonnage stratifié vérifie $CT = C_0 + \sum_{i=1}^{p} n_i C_i$.

💡 Astuce mémo

La population divisée en compartiments homogènes, chacun échantillonné

📖 6. Échantillonnage en grappes

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage en grappes : Subdivise la population en unités primaires contenant plusieurs individus, puis sélectionne des grappes et des individus dans chaque grappe.

★ À maîtriser

• Le tirage en grappes s’effectue en deux phases : choisir m grappes, puis choisir n individus par grappe.

📌 L’échantillonnage en grappes est choisi pour sa commodité et son faible coût, et non pour gagner de la précision.

Compléments

• Pour étudier les étudiants de L3 en France, on peut tirer 10 universités, puis échantillonner 50 étudiants de L3 dans chaque université.

💡 Astuce mémo

Choisir les grappes → choisir les individus dans chaque grappe

📊 Tableaux de synthèse

Stratifié ou en grappes