Fiche de révision : Logique et raisonnements

📋 Plan du Cours

1. Assertions et prédicats
2. Négation et connecteurs logiques
3. Implications et équivalences
4. Quantificateurs et domaines
5. Démonstration directe et réfutation
6. Contraposée et disjonction de cas
7. Raisonnements par récurrence
8. Absurde, analyse et synthèse

📖 1. Assertions et prédicats

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Énoncé déclaratif ayant une valeur de vérité, vraie ou fausse, mais pas les deux.
• Prédicat : Expression portant sur une ou plusieurs variables d'un domaine précisé qui devient une assertion lorsque toutes ces variables sont fixées.

📝 Points essentiels

• Pour le prédicat P(x) : « x^2=4 » défini sur les réels, P(2) est vraie et P(3) est fausse.

💡 Astuce mémo

Assertion fixée, prédicat variable

📖 2. Négation et connecteurs logiques

★ À maîtriser

• La négation ¬p est vraie exactement lorsque p est fausse.

• La conjonction p∧q est vraie lorsque p et q sont vraies, tandis que la disjonction p∨q est vraie lorsqu'au moins l'une des deux est vraie.

• Les lois de De Morgan sont ¬(p∧q)⇔(¬p∨¬q) et ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q).

Compléments

• Pour n=6, l'assertion « n est divisible par 2 ou par 3 » est vraie car les deux propriétés sont vérifiées.

📖 3. Implications et équivalences

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Fausse uniquement lorsque p est vraie et q est fausse.
• Équivalence : Signifie (p⇒q)∧(q⇒p), donc les deux assertions ont la même valeur de vérité.

★ À maîtriser

📌 Dans p⇒q, p est une condition suffisante pour q et q est une condition nécessaire pour p.

📌 La réciproque de p⇒q est q⇒p, tandis que sa contraposée est ¬q⇒¬p.

Compléments

• Pour les entiers, « divisible par 4⇒pair » est vraie, sa réciproque est fausse avec n=2, et sa contraposée « impair⇒non divisible par 4 » est vraie.

💡 Astuce mémo

Implication : un sens ; équivalence : deux sens

📖 4. Quantificateurs et domaines

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Signifie que tout élément de E vérifie P, sans exception.
• Quantificateur existentiel : Signifie qu'au moins un élément de E vérifie P, sans imposer l'unicité.

📝 Points essentiels

📌 La négation de ∀x∈E,P(x) est ∃x∈E,¬P(x), et la négation de ∃x∈E,P(x) est ∀x∈E,¬P(x).

📌 L'ordre des quantificateurs peut changer le sens : ∀x∈R,∃y∈R,x<y est vraie, tandis que ∃y∈R,∀x∈R,x<y est fausse.

💡 Astuce mémo

∀ puis ∃ : l’ordre détermine la dépendance

📖 5. Démonstration directe et réfutation

★ À maîtriser

• Pour démontrer ∀x∈E,P(x), on prend un élément quelconque x∈E ; pour démontrer ∃x∈E,P(x), on construit un témoin ; pour réfuter ∀x∈E,P(x), on trouve un contre-exemple.

• Pour démontrer p⇒q directement, on suppose p vraie puis on déduit q à partir des définitions et des résultats connus.

Compléments

• Si m=2a+1 et n=2b+1 avec a,b∈Z, alors mn=2(2ab+a+b)+1 est impair.

• Pour traiter une disjonction de cas, on couvre toutes les possibilités puis on démontre la conclusion dans chaque cas.

💡 Astuce mémo

Prouver par déduction, réfuter par contre-exemple

📖 6. Contraposée et disjonction de cas

★ À maîtriser

📌 Pour démontrer p⇒q par contraposition, on démontre l'implication équivalente ¬q⇒¬p.

Compléments

• Pour montrer que n^2 pair implique n pair, on démontre que n impair entraîne n^2 impair.

💡 Astuce mémo

Contraposée : ¬q ⇒ ¬p ; absurde : ¬p ajouté

📖 7. Raisonnements par récurrence

★ À maîtriser

• Une récurrence comporte une initialisation, où l'on vérifie P(n0), puis une hérédité, où l'on suppose P(n) et démontre P(n+1), avant de conclure pour tout n≥n0.

📐 Formule — Pour tout entier n≥1, la somme des entiers vérifie $\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}$, démontrée par récurrence.

Compléments

📌 La récurrence à deux pas vérifie P(n0) et P(n0+1), puis démontre [P(n)∧P(n+1)]⇒P(n+2).

• En récurrence forte, on vérifie P(n0), puis on suppose P(n0),…,P(n) vraies pour démontrer P(n+1).

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 8. Absurde, analyse et synthèse

★ À maîtriser

• Pour démontrer p par l'absurde, on suppose ¬p et on en déduit une contradiction, comme 0=1 ou a<a.

• L'hypothèse √2∈Q conduit à écrire √2=a/b irréductible, puis à montrer que a et b sont tous deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité ; ainsi √2∉Q.

• Pour résoudre une équation par analyse et synthèse, on détermine d'abord les candidats sous les conditions nécessaires, puis on vérifie lesquels sont réellement solutions.

Compléments

• Dans l'équation √(x)+2=x, l'analyse donne les candidats x=2 et x=−1, puis la condition x≥0 et la vérification conservent seulement x=2.

💡 Astuce mémo

Chercher les candidats, vérifier les solutions

📊 Tableaux de synthèse

Formes de raisonnement