QCM : Théorie des ensembles — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans un univers E, comment se définit le complémentaire de A ?

Il contient les éléments communs à A et à E.
Il contient les éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
Il contient les éléments de A qui appartiennent aussi à E.
Il contient les éléments qui appartiennent à A ou à E.

Il contient les éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

Explication

Le complémentaire de A dans E regroupe les éléments de E exclus de A, ce qui s’écrit A‾={x∈E∣x∉A}\overline{A}=\{x\in E\mid x\notin A\}. Les éléments communs à A et E décrivent plutôt une intersection.

2. Quelle caractéristique distingue un ensemble d’une liste ?

Ses éléments doivent tous être de nature différente.
Ses éléments sont considérés sans ordre ni répétition.
Ses éléments sont nécessairement classés par valeur.
Ses éléments sont rangés et peuvent être répétés.

Ses éléments sont considérés sans ordre ni répétition.

Explication

Un ensemble est défini par ses éléments, indépendamment de leur ordre et sans répétition. Une liste, au contraire, peut conserver un ordre et admettre plusieurs occurrences d’un même objet.

3. Que contient l’ensemble défini par A={f(x)∣x∈E}A = \{f(x) \mid x \in E\} ?

Toutes les valeurs obtenues par f lorsque x parcourt E.
Tous les éléments de E qui vérifient une propriété p.
Les fonctions dont l’ensemble de départ est contenu dans E.
Les couples formés par chaque élément de E et son image.

Toutes les valeurs obtenues par f lorsque x parcourt E.

Explication

La définition par image rassemble les valeurs f(x)f(x) produites lorsque x parcourt l’ensemble E. Elle se distingue d’une définition par propriété, qui sélectionne directement des éléments selon une condition.

4. Laquelle de ces affirmations décrit correctement les ensembles usuels et les nombres irrationnels ?

Les rationnels appartiennent à Q, tandis que les irrationnels sont les réels qui n’appartiennent pas à Q.
Les rationnels appartiennent à R, tandis que les irrationnels sont les réels qui appartiennent à Q.
Les rationnels appartiennent à D, tandis que les irrationnels sont les réels qui n’appartiennent pas à Z.
Les rationnels appartiennent à Z, tandis que les irrationnels sont les réels qui appartiennent à D.

Les rationnels appartiennent à Q, tandis que les irrationnels sont les réels qui n’appartiennent pas à Q.

Explication

L’ensemble Q regroupe les nombres rationnels, et un irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel, donc qui n’appartient pas à Q. La deuxième proposition confond l’inclusion générale dans R avec l’appartenance particulière à Q.

5. Quelle affirmation décrit correctement l’ensemble vide ∅\varnothing ?

Il contient tous les ensembles sans élément.
Il contient un élément nommé zéro.
Il contient l’ensemble vide comme élément.
Il ne contient aucun élément.

Il ne contient aucun élément.

Explication

L’ensemble vide est l’unique ensemble qui ne contient aucun élément, et pour tout objet x, on a x∉∅x \notin \varnothing. L’ensemble {∅}\{\varnothing\} est différent, car il contient l’ensemble vide comme unique élément.

6. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un réel x à l’intervalle fermé [a ; b], avec a ≤ b ?

Le réel x vérifie x < a ou x > b.
Le réel x vérifie a ≤ x ≤ b.
Le réel x vérifie a < x ≤ b.
Le réel x vérifie a < x < b.

Le réel x vérifie a ≤ x ≤ b.

Explication

Un intervalle fermé contient tous les réels compris entre ses deux bornes, bornes incluses, ce qui s’écrit a ≤ x ≤ b. La deuxième condition décrit l’intervalle ouvert, qui exclut les bornes.

7. Si A = {a, b} et B = {b, c}, quel est l’ensemble A ∪ B ?

{a, b, c}
{a, b, b, c}
{a, c}
{b}

{a, b, c}

Explication

L’union regroupe les éléments appartenant à A ou à B en supprimant les répétitions, donc elle vaut {a, b, c}. La présence de b dans les deux ensembles ne conduit pas à l’écrire deux fois.

8. Dans quelle situation peut-on écrire F⊆EF \subseteq E ?

Chaque élément de F appartient aussi à E.
F et E possèdent exactement un élément commun.
F est un élément particulier de l’ensemble E.
Chaque élément de E appartient aussi à F.

Chaque élément de F appartient aussi à E.

Explication

L’inclusion F⊆EF \subseteq E signifie que tout élément de F appartient également à E. Elle compare deux ensembles, contrairement à une relation comme x∈Ex \in E, qui compare un objet et un ensemble.

9. Quelle distinction entre ∅ et {∅} est correcte ?

Les deux ensembles ont pour cardinal 1 car chacun est noté avec des accolades.
∅ a pour cardinal 0, tandis que {∅} a pour cardinal 1.
Les deux ensembles ont pour cardinal 0 car ils font intervenir ∅.
∅ a pour cardinal 1, tandis que {∅} a pour cardinal 0.

∅ a pour cardinal 0, tandis que {∅} a pour cardinal 1.

Explication

L’ensemble vide ne contient aucun élément, alors que {∅} contient l’ensemble vide comme un élément unique. La confusion vient du fait que ∅ et {∅} sont deux ensembles différents malgré leur notation proche.

10. Si E={1,2,3}E = \{1,2,3\} et A={1,3}A = \{1,3\}, quelle affirmation est correcte ?

E∈P(A)E \in \mathcal{P}(A), car EE contient AA
A∈EA \in E, car AA est formé d’éléments de EE
A∈P(E)A \in \mathcal{P}(E), car AA est une partie de EE
A⊆P(E)A \subseteq \mathcal{P}(E), car ses éléments appartiennent à EE

$$A \in \mathcal{P}(E)$$, car $$A$$ est une partie de $$E$$

Explication

L’ensemble P(E)\mathcal{P}(E) contient toutes les parties de EE, donc AA y appartient. L’appartenance de AA à EE serait une affirmation différente, qui ne découle pas du fait que les éléments de AA appartiennent à EE.

11. Quelle différence oppose une définition en extension à une définition en compréhension ?

L’extension ordonne les éléments, tandis que la compréhension autorise leur répétition.
L’extension donne une propriété, tandis que la compréhension énumère les éléments.
L’extension énumère les éléments, tandis que la compréhension donne une propriété.
L’extension compare deux ensembles, tandis que la compréhension compare deux éléments.

L’extension énumère les éléments, tandis que la compréhension donne une propriété.

Explication

Une définition en extension liste explicitement les éléments entre accolades, alors qu’une définition en compréhension sélectionne ceux qui vérifient une condition. Ces deux représentations décrivent un ensemble, mais selon des informations différentes.

12. Si E1={a,b}E_1 = \{a,b\}, E2={1,2}E_2 = \{1,2\} et E3={x,y}E_3 = \{x,y\}, quelle condition caractérise un élément de E1×E2×E3E_1 \times E_2 \times E_3 ?

Il s’agit d’un couple dont les deux composantes appartiennent à E1×E2E_1 \times E_2.
Il s’agit d’un triplet (x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3) avec x1∈E1x_1 \in E_1, x2∈E2x_2 \in E_2 et x3∈E3x_3 \in E_3.
Il s’agit d’un triplet de trois sous-ensembles respectivement inclus dans E1E_1, E2E_2 et E3E_3.
Il s’agit d’un ensemble contenant trois éléments pris dans E1∪E2∪E3E_1 \cup E_2 \cup E_3.

Il s’agit d’un triplet $$(x_1,x_2,x_3)$$ avec $$x_1 \in E_1$$, $$x_2 \in E_2$$ et $$x_3 \in E_3$$.

Explication

Un produit de trois ensembles est constitué de triplets ordonnés, chaque composante appartenant à l’ensemble correspondant. Les autres descriptions parlent d’un ensemble non ordonné, d’un couple ou de sous-ensembles, et non d’un triplet satisfaisant les appartenances coordonnées.

13. Si A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4}, quel est l’ensemble A ∩ B ?

{2, 3, 4}
{1, 4}
{1, 2, 3, 4}
{2, 3}

{2, 3}

Explication

L’intersection rassemble les éléments présents à la fois dans A et dans B ; ici, il s’agit de 2 et 3. L’ensemble {1, 2, 3, 4} correspond à l’union des deux ensembles.

14. Si un ensemble fini EE possède 55 éléments, combien d’éléments contient son ensemble des parties P(E)\mathcal{P}(E) ?

2525
22
1010
3232

$$32$$

Explication

Le cardinal de l’ensemble des parties est donné par Card⁡(P(E))=2Card⁡(E)\operatorname{Card}(\mathcal{P}(E)) = 2^{\operatorname{Card}(E)}, soit 25=322^5 = 32. Le nombre 2525 correspondrait à un carré, et non à la puissance de 22 requise par la formule.

15. Laquelle de ces familles constitue une partition de E={1,2,3,4}E = \{1,2,3,4\} ?

{∅,{1,2},{3,4}}\{\varnothing,\{1,2\},\{3,4\}\}
{{1,2},{3}}\{\{1,2\},\{3\}\}
{{1,2},{2,3},{4}}\{\{1,2\},\{2,3\},\{4\}\}
{{1,2},{3,4}}\{\{1,2\},\{3,4\}\}

$$\{\{1,2\},\{3,4\}\}$$

Explication

Une partition est formée de parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion est l’ensemble considéré. La famille proposée respecte ces trois conditions, contrairement à celle qui contient des blocs se recouvrant, à celle qui omet un élément et à celle qui contient l’ensemble vide.

16. Combien de partitions possède l’ensemble E={1,2,3}E = \{1,2,3\} ?

33
44
55
88

$$5$$

Explication

L’ensemble à trois éléments possède une partition en un bloc, trois partitions en deux blocs et une partition en trois blocs, ce qui donne 1+3+1=51+3+1=5. Le nombre 88 correspond au cardinal de son ensemble des parties, pas au nombre de ses partitions.

17. Comment démontre-t-on que deux ensembles A et B sont égaux ?

En établissant qu'A est inclus dans B et que B est inclus dans A.
En constatant qu’ils ont le même nombre d’éléments distincts.
En vérifiant qu’ils possèdent au moins un élément commun.
En montrant que leurs éléments sont écrits dans le même ordre.

En établissant qu'A est inclus dans B et que B est inclus dans A.

Explication

Deux ensembles sont égaux lorsqu’ils contiennent exactement les mêmes éléments, ce qui se prouve par les deux inclusions réciproques. Le nombre d’éléments ou leur ordre ne suffit pas à établir cette égalité.

18. Que signifie l’écriture x∈Ex \in E ?

L’objet x est un élément de l’ensemble E.
Les ensembles x et E possèdent les mêmes éléments.
L’ensemble x est inclus dans l’ensemble E.
L’objet E est un élément de l’ensemble x.

L’objet x est un élément de l’ensemble E.

Explication

L’écriture x∈Ex \in E exprime l’appartenance de l’objet x à l’ensemble E. L’inclusion concerne deux ensembles, tandis que l’égalité compare leurs éléments.

19. Si E={a,b}E = \{a,b\} et F={1,2}F = \{1,2\}, lequel de ces couples appartient à E×FE \times F ?

(a,2)(a,2)
(a,b)(a,b)
(2,a)(2,a)
(1,2)(1,2)

$$(a,2)$$

Explication

Un élément de E×FE \times F est un couple ordonné dont la première composante appartient à EE et la seconde à FF. Le couple (a,2)(a,2) respecte ces deux appartenances, tandis que les autres inversent les ensembles ou utilisent deux éléments du même ensemble.

20. Quel est le cardinal de l’ensemble E = {2, 2, 5, 7, 7} ?

5
4
3
2

3

Explication

Le cardinal compte les éléments distincts, donc E contient 2, 5 et 7, soit trois éléments. Les répétitions de 2 et de 7 dans l’écriture ne sont pas comptées plusieurs fois.

21. Que représente l’écriture A={x∈E∣p(x)}A = \{x \in E \mid p(x)\} ?

Les éléments de A qui appartiennent également à la propriété p.
Les ensembles inclus dans E dont les éléments sont tous distincts.
Les valeurs de p obtenues pour chaque élément de E.
Les éléments de E qui vérifient la propriété p.

Les éléments de E qui vérifient la propriété p.

Explication

Cette notation définit A par compréhension : elle sélectionne dans l’ensemble de référence E les objets x pour lesquels la propriété p(x)p(x) est vraie. Elle ne décrit pas les valeurs produites par une fonction.

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Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?

Une collection d’objets appelés éléments, sans ordre ni répétition.

Que signifie la relation d’appartenance entre un objet et un ensemble ?

Elle indique si l’objet est ou n’est pas un élément de l’ensemble.

Comment s’écrit qu’un objet x appartient à un ensemble E ?

On écrit x∈Ex \in E.

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